4.3.1 等比数列的概念-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册同步全程学习全书word（人教A版）

4.3　等比数列 4.3.1　等比数列的概念 第一课时　等比数列的概念与通项公式 学习目标 1.通过实例,理解等比数列和等比中项的概念,达成数学抽象的核心素养. 2.探索并掌握等比数列的通项公式,能运用通项公式解决简单的问题,发展逻辑推理、数学运算的核心素养. 3.会判断和证明一个数列是等比数列,提升逻辑推理的核心素养. 　　我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”:“今有出门望九堤,堤有九木,木有九枝,枝有九巢,巢有九禽,禽有九雏,雏有九毛,毛有九色,问各有几何?” [问题1] 试写出“出门望九堤”问题构成的数列. 提示:构成数列:9,92,93,94,95,96,97,98. [问题2] 根据数列相邻两项的关系,上述数列有什么特点? 提示:数列中,从第2项起,每一项与前一项的比都是9. 1.等比数列的定义 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示(显然q≠0). [思考1] 等比数列中能有0项吗? 提示:不能. [思考2] 常数列是否一定是等比数列? 提示:常数列都是等差数列,但却不一定是等比数列.如常数列是各项都为0的数列,它就不是等比数列;当常数列各项不为0时,是等比数列,对于含字母的数列应注意讨论. [做一做1] 以下条件中,能判定数列是等比数列的有(　A　) ①数列1,2,6,18,…; ②数列{an}中,已知=2,=2; ③常数列a,a,…,a,…; ④数列{an}中,=q(q≠0),其中n∈N*. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析:①中,数列不符合等比数列的定义,故不是等比数列;②中,前3项是等比数列,多于3项时,无法判定,故不能判定是等比数列;③中,当a=0时,不是等比数列;④中,数列符合等比数列的定义,是等比数列.故选A. [问题3] 如果2,a,4成等差数列,如何求a?那如果是2,a,4成等比数列,如何求a?答案唯一吗? 提示:a==3.由=,得a2=8,即a=±2.答案不唯一. 2.等比中项 如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.此时,G2=ab. [做一做2] 2和8的等比中项为(　D　) A.-4 B.4 C.5 D.-4或4 解析:根据题意结合等比中项的定义得,2和8的等比中项为±=±4.故选D. [问题4] (1)如何利用等比数列的定义归纳出等比数列的通项公式? (2)在等比数列{an}中,任意两项an与am有怎样的关系?能否用它们求公比?(其中n> m, m,n∈N*). (3)在等比数列{an}的通项公式中,an与n的关系与以前所学过的什么函数有关? 提示:(1)由等比数列的定义知,=q或=q(n≥2)或an+1=qan或an=qan-1(n≥2), 由此可得a2=a1q,a3=a2q=a1q2,a4=a3q=a1q3,…,an=a1qn-1. (2)an=amqn-m,能用它们求公比. (3)an=·qn.当q=1时,an是n的常数函数.当q≠1时,an是与qn的乘积,其中qn是n的指数函数. 3.等比数列的通项公式 (1)首项为a1,公比为q(q≠0)的等比数列{an}的通项公式为an=a1qn-1. (2)第n项与第m项的关系为an=amqn-m,变形得qn-m=. (3)由an=·qn可知,当q>0且q≠1时,等比数列{an}的第n项an是函数f(x)=·qx(x∈R)当x=n时的函数值,即an=f(n). 　等比数列的通项公式 [例1] 在等比数列{an}中. (1)a1=1,a4=8,求an; (2)an=625,n=4,q=5,求a1. 解:(1)因为a4=a1q3, 所以8=q3,所以q=2, 所以an=a1qn-1=2n-1. (2)a1===5,故a1=5. 与求等差数列的通项公式的基本量一样,求等比数列的通项公式的基本量也常运用方程的思想和方法.从方程的观点看等比数列的通项公式an=a1·qn-1(a1q≠0)中包含了四个量,已知其中的三个量,可以求得另一个量.求解时,要注意应用q≠0验证求得的结果. [针对训练] 在等比数列{an}中, (1)a4=2,a7=8,求an; (2)a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,求n. 解:(1)因为 所以 由得q3=4, 从而q=,而a1q3=2, 于是a1==, 所以an=a1qn-1=. (2)法一　因为 由得q=, 从而a1=32. 又an=1,所以32×()n-1=1, 即26-n=20,所以n=6. 法二　因为a3+a6=q(a2+a5), 所以q=. 由a1q+a1q4=18,得a1=32. 由an=a1qn-1=1,得n=6.