4.2.1 等差数列的概念-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册同步全程学习全书word（人教A版）

4.2　等差数列 4.2.1　等差数列的概念 第一课时　等差数列的概念与通项公式 学习目标 1.通过生活中的实例,理解等差数列、等差中项的概念,发展数学抽象的核心素养. 2.掌握等差数列的通项公式,体会等差数列与一元一次函数的关系,增强逻辑推理、数学运算的核心素养. [问题1] 观察下列现实生活中的数列,回答后面的问题. 我国有用12生肖纪年的习惯,例如,2017年是鸡年,从2017年开始,鸡年的年份为2017,2029,2041,2053,2065,2077,…;① 我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示,常用确定鞋号脚长值按从大到小的顺序可排列为 275,270,265,260,255,250,…;② 2022年1月中,每个星期日的日期为2,9,16,23,30.③ 以上数列①②③有什么共同的特点? 提示:从第二项起,每一项与前一项的差都等于同一个常数. 1.等差数列的定义 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示. [做一做1] (多选题)下列数列是等差数列的是(　ABC　) A.1,1,1,1,1 B.4,7,10,13,16 C.,,1,, D.-3,-2,-1,1,2 解析:由等差数列的定义得,A项d=0,故是等差数列;B项d=3,故是等差数列;C项d=,故是等差数列;D项中每一项与前一项的差不是同一个常数,故不是等差数列.故选ABC. [问题2] 由等差数列的定义可知,如果1,x,3这三个数是等差数列,你能求出x的值吗? 提示:由定义可知x-1=3-x,即2x=1+3,x=2. 2.等差中项 由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时,A叫做a与b的等差中项.根据等差数列的定义可以知道,2A=a+b. [做一做2] 已知实数m是1和5的等差中项,则m 等于(　C　) A. B.± C.3 D.±3 解析:由题知,2m=1+5=6,m=3. 故选C. [问题3] 在等差数列{an}中,a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,…,an-an-1=d,能不能用a1与d表示an呢?怎样表示? 提示:把各式相加可得an-a1=(n-1)d,移项得an=a1+(n-1)d. 3.等差数列的通项公式 已知等差数列{an}的首项为a1,公差为d. 递推公式 通项公式 an+1-an=d an=a1+(n-1)d(n∈N*) [思考] 等差数列与一次函数有什么关系? 提示:(1)公差d≠0的等差数列{an}的图象是点(n,an)组成的集合,这些点均匀分布在直线f(x)=dx+(a1-d)上. (2)任给一次函数f(x)=kx+b(k,b为常数),则f(1)=k+b,f(2)=2k+b,…,f(n)=nk+b,构成一个等差数列{nk+b},其首项为(k+b),公差为k. [做一做3] (1)已知数列{an}的通项公式为an=2n+5,则此数列(　　) A.是公差为2的等差数列 B.是公差为5的等差数列 C.是首项为5的等差数列 D.是公差为n的等差数列 (2)已知等差数列{an}的首项a1=2,公差d=3,则数列{an}的通项公式为an=　　　　.  解析:(1)因为an-an-1=2n+5-(2n+3)=2, 所以{an}是公差为2的等差数列.故选A. (2)an=a1+(n-1)d=2+(n-1)·3=3n-1. 答案:(1)A　(2)3n-1 　等差数列的通项公式及应用 [例1] 在等差数列{an}中, (1)已知a1=2,d=3,n=10,求an; (2)已知a1=3,an=21,d=2,求n; (3)已知a1=12,a6=27,求d; (4)已知d=-,a7=8,求a1和an. 解:(1)a10=a1+(10-1)d=2+9×3=29. (2)由an=a1+(n-1)d得3+2(n-1)=21, 解得n=10. (3)由a6=a1+5d得12+5d=27,解得d=3. (4)由a7=a1+6d得a1-2=8, 解得a1=10, 所以an=a1+(n-1)d=10-(n-1) =-n+. 等差数列通项公式的求法与应用技巧 (1)等差数列的通项公式可由首项a1和公差d确定,所以要求等差数列的通项公式,只需运用方程思想求出首项a1与公差d即可. (2)等差数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d中共含有四个参数,即a1,d,n,an,如果知道了其中的任意三个数,那么就可以由通项公式求出第四个数,这一求未知量的过程,通常称之为“知三求一”. [针对训练] 已知等差数列{an}的公差不为零,a1=25,且=a1·a13,求{an}的通项公式. 解:设{an}的公差为d,已知=a1