4.1 数列的概念-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册同步全程学习全书word（人教A版）

4.1　数列的概念 第一课时　数列的概念与表示 学习目标 1.通过实例,了解数列的概念、分类与表示方法,达成数学抽象的核心素养. 2.理解数列通项公式的概念,能根据数列的前几项写出数列的通项公式,达成数学抽象的核心素养. 3.能根据数列的通项公式研究数列中有关项的问题,发展逻辑推理与数学运算的核心素养. 　　传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家在沙滩上研究数学问题.他们研究数的概念时,喜欢把数描绘成沙滩上的小石子,小石子能够摆成不同的几何图形,于是就产生一系列的形数.毕达哥拉斯发现,当小石子的数目是1,3,6,10等数时,小石子都能摆成正三角形,如图1.他把这些数叫做三角形数;当小石子的数目是1,4,9,16等数时,小石子都能摆成正方形,如图2.他把这些数叫做正方形数,等等. 探究:(1)第5个三角形数是多少?第n个三角形数呢? (2)第5个正方形数是多少?第n个正方形数呢? 提示:(1)第5个三角形数是15,第n个三角形数是. (2)第5个正方形数是25,第n个正方形数是n2. [问题1] 观察下面的几列数,这几列数都有什么共同的特点?这几列数中的数字能交换排列的顺序吗?从数字个数上来看,其中的(2)与其他的有什么不一样吗? (1)正偶数:2,4,6,8,…; (2)正整数1,2,3,4,5的平方的倒数:1,,,,; (3)无穷多个1排成一列数:1,1,1,1,1,…; (4)人们在1740年发现了一颗彗星,并推算出这颗彗星每隔83年出现一次,从发现那次算起,这颗彗星出现的年份:1740,1823,1906,1989,2072,…; (5)π精确到1,0.1,0.01,0.001,…的不足近似值排成一列数:3,3.1,3.14,3.141,3.141 5,…. 提示:它们都是按一定顺序排列的一列数.这几列数不能交换排列的顺序.(2)中数字有限. 1.数列的概念 (1)定义:按照确定的顺序排列的一列数称为数列. (2)项:数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项,常用符号a1表示,第二个位置上的数叫做这个数列的第2项,用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项,用an表示.其中第1项也叫做首项. (3)数列的一般形式是a1,a2,…,an,…,简记为{an}. (4)分类: 分类标准 类别 含义 数列项数 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 [思考1] 数列与集合有什么区别? 提示: 数列 集合 各项必须是数 集合中的元素可以是数,也可以是图形等其他形式 数列中的数是有顺序的,如1,2,3与1,3,2代表不同的数列 集合中的元素具有无序性,如{1,2,3}与{1,3,2}是相同的集合 数列中的项可以重复出现,如1,1,1,1,… 集合中的元素具有互异性,元素不能重复 [问题2] 观察问题1中的数列,每一项与其对应的序号之间是函数关系吗?如何表示这种对应关系? 提示:由于数列中的每一项与其对应的序号之间是一一对应关系,符合函数的定义,所以这种对应关系是函数关系. (1)中函数关系可表示为y=2x(x∈N*); (2)中函数关系可表示为y=(x∈[1,5],且 x∈N*); (3)中函数关系可表示为y=1 (x∈N*); (4)中函数关系可表示为y=83x+1 657(x∈N*); (5)中函数关系可表示为 x 1 2 3 4 5 … y 3 3.1 3.14 3.141 3.141 5 … 2.数列的表示方法 (1)数列与函数的关系:数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2,…,n})到实数集R的函数,其自变量是序号n,对应的函数值是数列的第n项an,记为an=f(n).与其他函数一样,数列也可以用表格和图象来表示. (2)数列的通项公式. 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式. [思考2] 数列与函数之间有何关系? 提示:(1)数列的通项公式可以看作an与n之间的函数关系式,即an=f(n); (2)数列是离散型函数,自变量是正整数n,定义域是正整数集N*(或它的有限子集{1,2,…,n}),图象是一些离散的点.函数多是连续型,自变量是实数,图象(除有间断点的)一般为不间断的曲线. [做一做1] 数列{an}的通项公式为an=则a3+a6=　　　　.  解析:a3+a6=(3+2)+(6-3)=5+3=8. 答案:8 [问题3] 观察问题1中的数列,从项与项之间的大小关系上来看,它们各自都有什么特点? 提示: (1),(4),(5)中的数列,从第二项起每一项都比它的前一项要大;(2)中的数列,从第二项起每一项都比它的前一