4.4 数学归纳法-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册同步全程学习课时作业word（人教A版）

4.4*　数学归纳法 选题明细表 知识点、方法 题号 数学归纳法的概念 1,2,3,7,8,13 用数学归纳法证明等式 5,10 用数学归纳法证明不等式 6,11 用数学归纳法证明其他等式 4,9,12 基础巩固 1.用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3,n∈N*)时,第一步验证(　C　) A.n=1 B.n=2 C.n=3 D.n=4 解析:由题知,n的最小值为3,所以第一步验证n=3是否成立.故选C. 2.(2021·吉林高二期末)用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n= n(2n+1)时,由n=k到n=k+1时,等式左边应添加的项是(　C　) A.2k+1 B.2k+2 C.(2k+1)+(2k+2) D.(k+1)+(k+2)+…+2k 解析:因为要证明等式的左边是连续正整数的和, 所以由n=k到n=k+1时,等式左边增加了[1+2+3+…+2k+(2k+1)+ 2(k+1)]-(1+2+3+…+2k)=(2k+1)+(2k+2).故选C. 3.已知f(n)=+++…+,则(　D　) A.f(n)共有n项,当n=2时,f(2)=+ B.f(n)共有(n+1)项,当n=2时,f(2)=++ C.f(n)共有(n2-n)项,当n=2时,f(2)=+ D.f(n)共有(n2-n+1)项,当n=2时,f(2)=++ 解析:结合f(n)中各项的特征可知,分子均为1,分母为n,n+1,…,n2的连续自然数,共有(n2-n+1)个,且f(2)=++.故选D. 4.下列代数式(其中k∈N*)能被9整除的是(　D　) A.6+6·7k B.2+7k-1 C.2(2+7k+1) D.3(2+7k) 解析:(1)当k=1时,显然只有3(2+7k)能被9整除. (2)假设当k=n(n∈N*)时,3(2+7n)能被9整除.那么当k=n+1时, 3(2+7n+1)=21(2+7n)-36. 这就是说,当k=n+1时,3(2+7n+1)也能被9整除. 根据(1)和(2),可知对任何k∈N*,3(2+7k)均能被9整除.故选D. 5.用数学归纳法证明:1-+-+…+-=++…+,第一步应验证的等式是　　 　　,从“n=k”到“n=k+1”左边需增加的代数式是　　　　　 　　　　　.  解析:当n=1时,应当验证的第一个式子是1-=,从“n=k”到“n=k+1”左边需增加的代数式是-. 答案:1-=　- 6.用数学归纳法证明不等式2n>(n+1)2(n∈N*)时,初始值n0应等于 　　　 　.  解析:由题意,当n=1时,21<(1+1)2; 当n=2时,22<(2+1)2; 当n=3时,23<(3+1)2; 当n=4时,24<(4+1)2; 当n=5时,25<(5+1)2; 当n=6时,26>(6+1)2,所以用数学归纳法证明不等式2n>(n+1)2(n∈N*)时,初始值n0应等于6. 答案:6 能力提升 7.对于不等式<n+1(n∈N*),某同学应用数学归纳法的证明过程如下: (1)当n=1时,<1+1,不等式成立. (2)假设当n=k(k∈N*)时,不等式成立,即<k+1. 那么当n=k+1时,=< ==(k+1)+1, 所以当n=k+1时,不等式也成立. 根据(1)和(2),可知对于任何n∈N*,不等式均成立.则上述证法(　D　) A.过程全部正确 B.n=1验得不正确 C.归纳假设不正确 D.从n=k到n=k+1的证明过程不正确 解析:此同学从n=k到n=k+1的证明过程中没有应用归纳假设. 故选D. 8.(多选题)已知一个命题p(k),k=2n(n∈N*),若当n=1,2,…, 1 000时,p(k)成立,且当n=1 001时也成立,则下列判断中正确的是(　AD　) A.p(k)对k=528成立 B.p(k)对每一个自然数k都成立 C.p(k)对每一个正偶数k都成立 D.p(k)对某些偶数可能不成立 解析:由题意知p(k)对k=2,4,6,…,2 002成立,当k取其他值时不能确定p(k)是否成立.故选AD. 9.用数学归纳法证明“5n-2n能被3整除”的第二步中,n=k+1时,为了使用假设,应将5k+1-2k+1变形为(　A　) A.5(5k-2k)+3×2k B.(5k-2k)+4×5k-2k C.(5-2)(5k-2k) D.2(5k-2k)-3×5k 解析:假设当n=k时命题成立,即5k-2k能被3 整除. 当n=k+1时, 5k+1-2k+1=5×5k-2×2k=5(5k-2k)+5×2k-2×2k=5(5k-2k)+3×2k. 故选A. 10.用数学归纳法证明:1+2+3+…+n2=(n≥2,n∈N*).当验证n=2时,左端的