4.4 数学归纳法-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册同步全程学习同课异构课件PPT（人教A版）

第四章 数列 4.4*　数学归纳法 4.4.1 *　数学归纳法 教学目标 教学目标 1.知识与技能:了解数学归纳法的原理. 2.过程与方法:能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题. 3.情感态度与价值观:通过利用数学归纳法证明与自然数n有关的数学命题，发展学生的逻辑推理和数学运算素养. 教学重、难点 教学重、难点 重点:了解数学归纳法的原理． 难点:能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 课堂小结 肆 当堂训练 叁 讲授新知 贰 延伸拓展 伍 新课导入 壹 目 录 新课导入 壹 新课导入 五十多年前，清华大学数学系赵访熊教授(1908～1996)给大学一年级学生讲高等数学课时，总要先讲讲数学的基本概念和方法，他对数学归纳法所作的讲解极其生动，他讲了一个“公鸡归纳法”的故事：某主妇养小鸡十只，公母各半.她预备将母鸡养大留着生蛋，公鸡则养到一百天就陆续杀以佐餐.每天早晨她拿米喂鸡.到第一百天的早晨，其中的一只公鸡正在想：“第一天早晨有米吃，第二天早晨有米吃，……第九十九天早晨有米吃，所以今天，第一百天的早晨，一定有米吃.”这 时，主妇来了，正好把这只公鸡抓去杀了.这只公鸡在第一百天的早晨不但没有吃着米，反而被杀了.虽然它已有九十九天吃米的经验，但不能证明第一百天一定有米吃.赵先生把这只公鸡的推理戏称为“公鸡归纳法”. 问题　“公鸡归纳法”得到的结论一定正确吗？ 提示　不一定正确，“公鸡归纳法”是不完全归纳法，用其得到的结论是不一定正确的. 返回 讲授新知 贰 讲授新知 1.数学归纳法的定义 一般地，证明一个与__________有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立； (2)(归纳递推)以“当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当____________时命题也成立”.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法. 正整数n n＝k＋1 讲授新知 2.数学归纳法中的两个步骤之间的关系 记P(n)是一个关于正整数n的命题.可以把用数学归纳法证明的形式改写如下： 条件：(1)P(n0)为真；(2)若______为真，则_________也为真，结论：P(n)为真. (1)第一步验证(或证明)了当n＝n0时结论成立，即命题_______为真； (2)第二步是证明一种递推关系，实际上是要证明一个新命题：______________________________. 只要将两步交替使用，就有P(n0)为真，P(n0＋1)真，……P(k)真，P(k＋1)真…….从而完成证明. P(k) P(k＋1) P(n0) 若P(k)为真，则P(k＋1)也为真 讲授新知 拓展深化 [微判断] 1.与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法.( ) 提示　也可用其他方法证明. 2.在利用数学归纳法证明问题时，只要推理过程正确，也可以不用归纳假设.( ) 提示　数学归纳法的两个步骤缺一不可. 3.用数学归纳法证明等式时，由n＝k到n＝k＋1，等式的项数不一定增加了一项.( ) × × √ 范例应用 范例应用 (2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，命题成立， 那么当n＝k＋1时， 范例应用 上式表明当n＝k＋1时，命题也成立. 由(1)(2)知，命题对一切正整数均成立. 范例应用 反思感悟 用数学归纳法证明等式的策略 应用数学归纳法证明等式时需要确定两个式子的结构，即： (1)n＝n0时，等式的结构. (2)n＝k到n＝k＋1时，两个式子的结构：n＝k＋1时的代数式比n＝k时的代数式增加(或减少)的项. 这时一定要弄清三点： ①代数式从哪一项(哪一个数)开始，即第一项. ②代数式相邻两项之间的变化规律. ③代数式中最后一项(最后一个数)与n的关系. 例2　用数学归纳法证明： (2)假设n＝k(k≥2，k∈N*)时， 不等式成立， 则当n＝k＋1时， 所以当n＝k＋1时，不等式也成立. 综上所述，对任意n≥2的正整数，不等式都成立. 反思感悟 用数学归纳法证明不等式的四个关键 (1)验证第一个n的值时，要注意n0不一定为1，若n>k(k为正整数)，则n0＝k＋1. (2)证明不等式的第二步中，从n＝k到n＝k＋1的推导过程中，一定要用归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳假设. (3)用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小.对第二类形式往往要先对n取前k个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个k值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明. (4)用数学归纳