4.2.2 等差数列的前n项和公式-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册同步全程学习同课异构课件PPT（人教A版）

第四章 数列 4.2 等差数列 4.2.2 等差数列的前n项和公式 教学目标 教学目标 1.知识与技能:1、知识目标 (1）掌握等差数列前n项和公式,理解公式的推导方法;(2）能较熟练应用等差数列前n项和公式求和。 2.过程与方法:经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思和逻辑推理的能力。 3.情感态度与价值观:通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感,体验在学习中获得成功。 教学重、难点 教学重、难点 重点:等差数列前n项和公式. 难点:获得等差数列前n项和公式推导的思路. 课堂小结 肆 当堂训练 叁 讲授新知 贰 延伸拓展 伍 新课导入 壹 目 录 新课导入 壹 新课导入 在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇帝建筑中包含许多与9相关的设计.例如，北京天坛圆丘的地面由扇环的石板铺成(如图)，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第1圈有9块石板，从第2圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈. 问题　文中所提到的最高一层的石板一共有多少块？ 提示　9＋2×9＋3×9＋…＋8×9＋9×9＝405(块). 新课导入 返回 讲授新知 贰 讲授新知 1.等差数列的前n项和公式 求Sn的条件：已知n，a1，an或n，a1，d (1)等差数列的前n项和公式 讲授新知 2.等差数列前n项和的性质 讲授新知 返回 范例应用 4.若某数列的前n项和公式为Sn＝－aqn＋a(a≠0，q≠0且q≠1，n∈N*)，则此数列一定是等比数列.(　　) 1.等比数列前n项和Sn不可能为0.(　　) 2.若首项为a的数列既是等比数列又是等差数列，则其前n项和等于na. (　　) 思考辨析 判断正误 √ √ × × 范例应用 等差数列前n项和公式及其应用 例1(1)设Sn是等差数列{an}的前n项和,且a1=1,a4=7,则S9=　　　　.  (2)设Sn为等差数列{an}的前n项和,若S3=3,S6=24,则a9=　　　　.  (3)在等差数列{an}中,若a1=1,an=-512,Sn=-1 022,则公差d=　　　　.  分析:利用等差数列的通项公式和前n项和公式列方程进行计算求解. 范例应用 解析:(1)设等差数列{an}的公差为d, 则a4=a1+3d=1+3d=7,所以d=2. 解得n=4.又由an=a1+(n-1)d, 即-512=1+(4-1)d,解得d=-171. 答案:(1)81　(2)15　(3)-171 范例应用 利用an与Sn的关系解决问题 例2(1)已知数列{an}的前n项和Sn=5n-1,求数列{an}的通项公式; (2)已知数列{an}的前n项和Sn= ,求数列{an}的通项公式. 分析:利用an与Sn的关系求通项公式,注意对首项的检验. 解:(1)当n=1时,a1=S1=51-1=4. 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(5n-1)-(5n-1-1)=5n-5n-1=4·5n-1.由于a1=4也适合an=4·5n-1,因此数列{an}的通项公式是an=4·5n-1(n∈N*). 范例应用 例3已知数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,且满足 (1)求证:{an}为等差数列; (2)求出{an}的通项公式. 相减,利用an与Sn的关系可消去Sn,得到an与an-1的关系,从而可判断数列{an}是不是等差数列,再根据a1=S1可求出a1的值,即得{an}的通项公式. 等差数列在实际生活中的应用 例4 某人用分期付款的方式购买一件家电,价格为1 150元,购买当天先付150元,以后每月的这一天都交付50元,并加付欠款利息,月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月,则分期付款的第10个月该交付多少钱?全部贷款付清后,买这件家电实际花费多少钱? 解:设每次交款数额依次为a1,a2,…,a20, 则a1=50+1 000×1%=60, a2=50+(1 000-50)×1%=59.5, … a10=50+(1 000-9×50)×1%=55.5, 即第10个月应付款55.5元. 由于{an}是以60为首项,以-0.5为公差的等差数列,所以有 即全部付清后实际付款1 105+150=1 255(元). 反思感悟等差数列的实际应用的解题策略 建立等差数列的模型时,要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数. 当堂训练 叁 当堂训练 当堂训练 当堂训练 当堂训练 当堂训练 5.设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝2，S8＝6，则S12＝________. 解析　因为 S4，S8－S4，S12－S8成等