5.1.2 导数的概念及其几何意义-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册同步全程学习教案（人教A版）

5.1.2 导数的概念及其几何意义 第1课时导数的概念 学习登标 馨游授新郑 1,通过实例分析，经历山平均变化革过波到瞬时变化率的过 1.平均变化率 程，了解宁数概念的实际背景。 对于函数y=fx),设月变量x从：x变化到和|Ar,相应 2.会求响数在某点附近的平均变化举。 地，函数值y就从f(x)变化钊f(十dx).这时，x的变化 3.会利用宁数的定义求函数在某点处的导数， 量为△x,y的变化量为△y=f(xI△x)一f八n) 毅学这程 我们把比值公即A=f十a》)叫做数y= 导入新课： f(x)从到x十△x的平均变化率. 我们把物型中的平均速度和瞬时速度对应到了儿何中的 2,导数的概念 剂线斜率和切线斜案，在解伏问题时，都采川了由“平均变化 率“证近“舜时变化率”的思想方法，从此也可看出·现实中的瞬 果当△一0时，平均变化率无限趋近于一个确定的 时速度实际下是不疗在的，比如人家在经过红绿灯路1I时，容 值，即会有极限，则称yf(x在工处可寸，并把这个确 易发现，测速探头会在极短时问内拍两次，然后看你发生的位 定的伯叫做y=(x》在：x=x处的导数（也称为瞬时变化 移，原理也是极银的恩想，阳在几何上，山线的切线斜*却是行 在的，今人我们继续究史.般的问题。 率).记作f()或yl-,即子(.)=imAy= r0△x 1imK十△z)-fn2 △2 41 瑞件中赠莎学哪练發举鲸骚梦嗜蔻损修必漫第“册 质疑探究 (2)函数fx)一x2在x一1处的导数为 问题1：平均变化率是香一定为下值？ A.2.x B.2 C.2+△r D.1 提示：平均变化率公可正，可负、可为本， (3)着数∫(x)在x=日处的导数为m:那么 问题2：附数y=八x)在x=处的导数的定义式/()= ina-2A)二u-2△卫的值为 △ 受典十-设玉数f在上 △x 解析：)1im1-Az)- 2△x 处可学，则当Ar一0时，+△)-@的作与，△ dz 奥1(2m △r 是f.故选C 的值都关吗： 提示：导数即为虽效yf(x)在x处的哧时变化来，是 2是-01四 △r 一个局部概念，只与数y一(x)在x一处及其附近的西 -一+2△a-旦（2-4x》-么妆该县 数值有关，与△x无关。 △3 遂范例夜用 (3)ima-2△r)-fa-2A2 4+8 类型一求西数的平均变化奉 imfa+2A巴）fa)+fa）fa2@ △x [例1]已知数(x)=一4.9x-6.5x十10. ()计算从x=I到x=1一△的平均安化率.其中△x的伯 aa im fa)) △x 为①2：②l:③0.1：①0.01， (2)根恬(1)中的计算，当△x越来越小时.函数h(x)在区间 =2四a+2,-@+2a-2w- 2△T -2△z 1.1+△x1上的平均变化率有怎样的变化趋势7 2m一2n4m. 解：(1)图为△y一(1+△r)h(1) 答案：(1)C(2)B(3)4m --4,9(△x)2-3.34x, 反思与感悟 所议△ --4.9△x-3.3. ()对于涉及子数的定义问题，要严格把搓导教的定义式： 0当△2时 -4.94r-33-13.1. )=-仰二2.注念现察分子为 △x 分母处的△x的系数是否一致.否则就要调整系数。 ②指△r-1时公-490-83--82 (2)热记龄时变化年（即导数）的几种变形形式： 0当4=0.1时公-490-33=-870 m4-242-ma,-4g二 △ △x 0当△r=0.015,含签-49a7-33=-839 -4a4- nAt (2)当△x越来越小时，数(x)在区间[1,1|△r]上的平 -an2a0-fa小 均变化率逐浒变大，并接近于3.3. 2△r 反思与感悟 跟踪训练2(1)已闭奇函数f(x)满足广（一1）一1，则 求平均变化率的主要步骤： imax1》+f卫等于 △x (1)先计算函数值的改安量△yf)一f(工1)： A.1 B.-1 2 D.-2 (2)再计算自变量的改变量△=g一如， (2)求响数/(x)=一x3十3x的导数，并求(1). ③)得手均变化车-1- (1)解析：由x)为奇语数，得f代1)=一（一1）， 跟踪训练1求丙数fx)=x22在区问[，，1△x]上的 所以lim△x1)+f1四 △r 半均变化率，f求当：x=2.△x=0.1时半均变化率的伯. 解：的数(r)=3x|2在区间元，1△x上的平均变化 =四1-山--)=1.改选 △r 率为L-Af=13-△-2-(3-2- (2)解：因为Ay=fx十Ar)-f八动=[-(x+△x)-3(x (+△r)6 △x 6·△x|3(△r) △x)」-（-x+3)-(△x)-2x·4r+34,所 64-3△士 △E -△x一2x十3. 当%-2，△r-0,1时，函数y-3十2在区间