第03讲 二项式定理-备战2024年高考数学《解读•突破•强化》一轮复习讲义（新高考专用）

备战2024年高考《解读•突破•强化》一轮复习讲义（新高考） 第03讲 二项式定理 【考试要求】 　能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 知识点一 二项式定理 1.二项式定理:. 2.通项公式:Tr+1=  　,它表示第项.  3.二项式系数:二项展开式中各项的二项式系数为,,…,. 知识点二、二项式系数的性质 1.当时,与的关系是  　.  2.二项式系数先增后减,中间项最大. 当为偶数时,第项的二项式系数最大,最大值为 　;当为奇数时,第项和项的二项式系数最大,最大值为  或　 .  知识点三、各二项式系数和 1.展开式的各二项式系数和:+++…+=　 　.  2.偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和,即+++…=+++…=　 　.  1.二项展开式的三个重要特征 (1)字母的指数按降幂排列由到0. (2)字母的指数按升幂排列由0到. (3)每一项字母的指数与字母的指数的和等于. 2.关注三个易错点 (1)在二项式定理中,通项公式为是展开式的第项,不是第项. (2)二项式系数与展开式中项的系数是两个不同的概念,在中,是该项的二项式系数,该项的系数还与,有关. (3)二项式系数的最值与指数的奇偶性有关.当为偶数时,中间一项的二项式系数最大;当为奇数时,中间两项的二项式系数相等,且同时取得最大值. 1、（多选）关于的二项展开式的下列说法正确的是（ ） A展开式共有n项，每一项中a、b的指数和等于n B第k+1项的通项公式 C展开式的二项式系数和等于所有项系数和，都等于 D展开式中最大的二项式是 2、已知C＋2C＋22C＋23C＋…＋2nC＝243，则C＋C＋C＋…＋C等于(　　) A．31 B．32 C．15 D．16 3、对于二项式(n∈N*)，以下判断正确的有(　　) A.存在n∈N*，展开式中有常数项 B.对任意n∈N*，展开式中没有常数项 C.对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项 D.存在n∈N*，展开式中有x的一次项 4.若，则下列判断正确的序号是 （1）； （2）展开式各项系数和为； （3）奇数项系数之和为； （4）偶数项系数之和为. 考点一 通项公式的应用 角度1 求特定项（或系数） 例1．（1）（2023年新高考天津数学高考真题）在的展开式中，项的系数为 ． （2）（2023·河南开封·统考二模）展开式中的常数项是（    ） A． B． C． D． 【对点演练1】（2023·广西·校联考模拟预测）二项式的展开式中含的项的系数为（    ） A．-60 B．60 C．30 D．-30 【对点演练2】（2023·全国·高三专题练习）在的展开式中，第四项为（    ） A．160 B． C． D． 【对点演练3】（2023·全国·高三专题练习）二项式的展开式的常数项为第_____项 A．17 B．18 C．19 D．20 【对点演练4】在二项式(＋x)9的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是________． 角度2 已知特定项求参数 例2 （2023·全国·高三专题练习）已知的展开式中第3项是常数项，则（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【对点演练1】2023·全国·高三专题练习）若在的展开式中，第4项是常数项，则 ． 【对点演练2】（2022·河北唐山·统考二模）（多选）已知的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，则（    ） A． B． C．常数项是672 D．展开式中所有项的系数和是-1 【对点演练3】若展开式中含项的系数等于含x项的系数的8倍，则n等于（    ） A．5 B．7 C．9 D．11 【对点演练4】（2023·福建福州·统考二模）若二项式展开式中存在常数项，则正整数n可以是（    ） A．3 B．5 C．6 D．7 考点二 多项展开式问题 例3．（1）（2022年全国新高考I卷数学试题）的展开式中的系数为 （用数字作答）． （2）(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为(　　) A.10 B.20 C.30 D.60 （3）在1＋（1＋x）＋（1＋x）2＋（1＋x）3＋（1＋x）4＋（1＋x）5＋（1＋x）6的展开式中，含x3项的系数是 （　　） A.25 B.30 C.35 D.40 【对点演练1】（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））的展开式中x3y3的系数为（    ） A．5 B．10 C．15 D．20 【对点演练2】（2023·全国·高三专题练习）的展开式中的常数项为（    ） A．－20 B．30 C．