第2章 二次函数直角三角形存在问题 学案 2022-2023学年北师大版九年级数学下册

二次函数背景下的特殊直角三角形存在问题 【问题】如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（1,1），点B坐标为（5,3），在x轴上找一点C使得△ABC是直角三角形，求点C坐标． 几何法：（1）“两线一圆”作出点； （2）构造三垂直相似，利用对应边成比例求线段，必要时可设未知数． 代数法：（1）表示点A、B、C坐标； （2）表示线段AB、AC、BC； （3）分类讨论①、②、③； （4）代入列方程，求解． · 如果问题变为等腰直角三角形存在性，则同样可采取上述方法，只不过三垂直得到的不是相似，而是全等（全等是特殊的相似）． 【典例精讲】 1.已知直线与轴、轴分别相交于、两点，抛物线经过、两点，点在线段上，从点出发，向点以每秒1个单位的速度匀速运动；同时点在线段上，从点出发，向点以每秒个单位的速度匀速运动，连接，设运动时间为秒 （1）求抛物线解析式； （2）当为何值时，为直角三角形； 2.如图，直线分别与轴，轴交于，两点，点为的中点，抛物线经过，两点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点为抛物线上一点，若是以为直角边的直角三角形，求点到抛物线的对称轴的距离． 3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接AC、BC． （1）求线段AC的长； （2）若点P为该抛物线对称轴上的一个动点，当PA＝PC时，求点P的坐标； （3）若点M为该抛物线上的一个动点，当△BCM为直角三角形时，求点M的坐标． 4.抛物线y＝x2+（m+2）x+4的顶点C在x轴正半轴上，直线y＝x+2与抛物线交于A，B两点（点A在点B的左侧）． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点P是抛物线上一点，若S△PAB＝2S△ABC，求点P的坐标； （3）将直线AB上下平移，平移后的直线y＝x+t与抛物线交于A'，B'两点（A'在B'的左侧），当以点A'，B'和（2）中第二象限的点P为顶点的三角形是直角三角形时，求t的值． 5.如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣7，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D，顶点坐标为M． （1）求抛物线的表达式和顶点M的坐标； （2）如图1，点E（x，y）为抛物线上一点，点E不与点M重合，当﹣7＜x＜﹣2时，过点E作EF∥x轴，交抛物线的对称轴于点F，作EH⊥x轴与点H，得到矩形EHDF，求矩形EHDF的周长的最大值； （3）如图2，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点P，使以点P、A、C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 6.如图，已知抛物线C1：y＝ax2+4ax+4a﹣5的顶点为P，与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1． （1）求a的值及P的坐标； （2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式； （3）如图（2），点Q是x正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4．抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标． 答案解析： 1.已知直线与轴、轴分别相交于、两点，抛物线经过、两点，点在线段上，从点出发，向点以每秒1个单位的速度匀速运动；同时点在线段上，从点出发，向点以每秒个单位的速度匀速运动，连接，设运动时间为秒 （1）求抛物线解析式； （2）当为何值时，为直角三角形； 解：（1）由题：，将A,B代入二次函数得： ，解得 ∴抛物线解析式为： （2）当运动时间为秒时，点M的坐标为，点N的坐标为 ∴ ∵△AMN为等腰直角三角形 ①当∠ANM=90°时，有，即，解得 ②当∠AMN=90°时，有，解得 ∴当为1秒或秒时，△AMN为等腰直角三角形。 2.如图，直线分别与轴，轴交于，两点，点为的中点，抛物线经过，两点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点为抛物线上一点，若是以为直角边的直角三角形，求点到抛物线的对称轴的距离． 解：由题易知：，∴ 将A,C代入得：，解得； ∴抛物线解析式为： （2）设， 则 ∵△APB是以AB为直角边的直角三角形，所以： ①∠PAB=90°时：，解得 此时，P到对称轴的距离为 ②∠PBA=90°时：，解得 此时，P到对称轴的距离为或 ∴P到对称轴的距离为或或 3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接AC、BC． （1）求线段AC的长； （2）若点P为该抛物线对称轴上的一个动点，当PA＝PC时，求点P的坐标； （3）若点M为该抛物线上的一个动点，当△