8.2 函数与数学模型（六大题型）-【帮课堂】2023-2024学年高一数学同步学与练（苏教版2019必修第一册）

8．2 函数与数学模型 课程标准 学习目标 （1）通过本节内容的学习，让学生结合实例，选择合适的函数模型，运用函数模型解决实际问题，提升直观想象和逻辑推理素养. （2）通过数据分析对应的函数模型，提升逻辑推理素养. （3）将实际问题转化为数学问题，由函数解析式求值和有关函数解析式的计算，提升直观想象和数学运算素养. （1）了解指数函数、对数函数及幂函数等函数模型的增长差异. （2）会根据函数的增长差异选择函数模型． （3）能自建确定性函数模型解决实际问题. （4）了解建立拟合函数模型的步骤，并了解检验和调整的必要性． 知识点01 几种常见的函数模型 1、一次函数模型：（，为常数，） 2、二次函数模型：（为常数，） 3、指数函数模型：（为常数，，且） 4、对数函数模型：（为常数，，且） 5、幂函数模型：（为常数，） 6、分段函数模型： 【即学即练1】（2023·浙江金华·高一阶段练习）今有一组实验数据如下： 现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（    ） A． B． C． D． 知识点02 解答应用问题的基本思想和步骤 1、解应用题的基本思想 2、解答函数应用题的基本步骤 求解函数应用题时一般按以下几步进行： 第一步：审题 弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型． 第二步：建模 在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符号，将问题的非数学语言合理转化为数学语言，然后根据题意，列出数量关系，建立函数模型．这时，要注意函数的定义域应符合实际问题的要求． 第三步：求模 运用数学方法及函数知识进行推理、运算，求解数学模型，得出结果． 第四步：还原 把数学结果转译成实际问题作出解答，对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，使其符合实际背景． 上述四步可概括为以下流程： 实际问题（文字语言）数学问题（数量关系与函数模型）建模（数学语言）求模（求解数学问题）反馈（还原成实际问题的解答）． 3、解答函数应用题应注意的问题 首先，要认真阅读理解材料．应用题所用的数学语言多为“文字语言、符号语言、图形语言”并用，往往篇幅较长，立意有创新脱俗之感．阅读理解材料要达到的目标是读懂题目所叙述的实际问题的意义，领悟其中的数学本质，接受题目所约定的临时性定义，理解题目中的量与量的位置关系、数量关系，确立解体思路和下一步的努力方向，对于有些数量关系较复杂、较模糊的问题，可以借助画图和列表来理清它． 其次，建立函数关系．根据前面审题及分析，把实际问题“用字母符号、关系符号”表达出来，建立函数关系． 其中，认真阅读理解材料是建立函数模型的关键．在阅读这一过程中应像解答语文和外语中的阅读问题一样，有“泛读”与“精读”之分．这是因为一般的应用问题，一方面为了描述的问题与客观实际尽可能地相吻合，就必须用一定的篇幅描述其中的情境；另一方面有时为了思想教育方面的需要，也要用一些非数量关系的语言来叙述，而我们解决问题所关心的东西是数量关系，因此对那些叙述的部分只需要“泛读”即可．反过来，对那些刻画数量关系、位置关系、对应关系等与数学有关的问题的部分，则应“精读”，一遍不行再来一遍，直到透彻地理解为止，此时切忌草率． 【即学即练2】（2023·安徽阜阳·高二校考期中）某化学试剂厂以千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得的利润是万元. (1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于30万元，求的取值范围； (2)要使生产120千克该产品获得的利润最大，则该工厂应该选取何种生产速度？并求出最大利润. 题型一：一次函数与二次函数模型的应用 例1．（2023·全国·高二专题练习）为了保护环境，某工厂在政府部门的鼓励下进行技术改进：把二氧化碳转化为某种化工产品，经测算，处理成本 (单位：万元)与处理量 (单位：吨)之间的函数关系可近似表示为，，已知每处理一吨二氧化碳可获得价值20万元的某种化工产品． (1)判断该技术改进能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则国家至少需要补贴多少万元该工厂才不会亏损？ (2)当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？ 例2．（1982·全国·高考真题）以墙为一边，用篱笆围成长方形的场地，并用平行于一边的篱笆隔开（如图）．已知篱笆的总长为定值L，这块场地的长和宽各为多少时场地的面积最大？最大面积是多少？ 例3．（2023·河南·高二校联考阶段练习）某企业为了增加工作岗位和增加员工收入，投入90万元安装了一套新的生产设备，预计使用该设备后前年的支出成本为万元，每年的销售收入95万元．设使用该设备前年的总盈利额为万元． (1)写出关于的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利； (2)使用若干年后对