4.7相似三角形的性质（讲+练，四大题型）-【划重点】2023-2024学年九年级数学上册同步讲与练（北师大版）

4.7 相似三角形的性质 ( 学习目标： 1. 2.. 3.. 重点： . 难点： . ) ( 学习目标： 1. 理解并掌握相似三角形的对应线段高中线角平分线之间的关系，掌握定理的证明方法，并能灵活运用相似三角形的判定定理和性质，提高学生分析问题的能力. 2. 理解及掌握相似三角形周长的比等于相似比面积比等于相似比的平方，并能利用这些性质解决简单的问题. 重点 ：相似三角形性质定理的探究与应用； 理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比面积比等于相似比的平方. 难点： 综合运用相似三角形的性质与判定定理探索相似，三角形中对应线段之间的关系；探索相似多边形周长的比等于相似比面积比等于相似比的平方. ) · 知识点一 相似三角形对应线段的比 定理 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比. 即：相似三角形对应线段的比等于相似比. (1)注意“对应”二字，应用时要找准对应线段； (2)相似比是有顺序的，不能颠倒线段的顺序. (3)对应高、对应中线与对应角平分线分别是指相似三角形对应边上的高、中线与对应内角的平分线. 即学即练1（2023上·全国·九年级专题练习）已知，顶点A、B、C分别与对应，，、分别是它们的对应中线，且．求的长． 即学即练2（2023上·广东深圳·九年级南山实验教育集团南海中学校考期中）如图，是的高，点E、F在边上，点G在边上，点H在边上，，高，四边形是内接正方形，    (1)与相似吗？为什么？ (2)求内接正方形边长． 即学即练3（2017·福建福州·九年级统考期末）求证：相似三角形对应高的比等于相似比．(请根据题意画出图形，写出已知，求证并证明) 知识点二 相似三角形的周长比与面积比 1、相似三角形的周长比：相似三角形的周长比等于相似比 2、相似三角的面积比：相似三角形的面积比等于相似比的平方. 特别提醒： 活学巧记:两个相似三角形，各角对应都相等，各边对应成比例，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 即学即练1（2019下·九年级单元测试）小李家承包了两块三角形土地和△A´B´C´，已知，且的面积为，则△A´B´C´的面积是（      ） A． B． C． D． 即学即练2（2019下·九年级单元测试）如果两个相似三角形的周长的比为1∶4，那么周长较小的三角形与周长较大的三角形对应角平分线的比为 ． 题型一 利用相似三角形的性质求解 例1如图，在中，，分别是，的中点，，相交于点，则下列四个结论中，错误的是（　　）    A． B． C． D． 举一反三 1-1.如图，中，，是斜边的高．下列结论不成立的是（   ）    A． B． C． D． 1-2.如图，在中，，，，四边形为内接正方形，那么 ． AI 1-3.已知：如图，在与中，，与相交于E点，且，交于F点，的面积为1，求和的面积． 　 题型二 利用相似求坐标 例2如图，已知两点A（2，0）B（0，4），∠1=∠2，则点C的坐标为（    ） A．（0，1） B．（0，） C．（0，2） D．（0，3） 举一反三 2-1.如图，在平面直角坐标系中，点，，，则点坐标为 ． 2-2.．如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，点在第一象限内，连接、．已知，则 ． 2-3．如图，在Rt△ABO中，∠ABO＝90°，其顶点O为坐标原点，点B在第二象限，点A在x轴负半轴上若BD⊥AO于点D，OB＝，AB＝2． （1）求OA的长； （2）求点A，B的坐标． 题型三 相似三角形的对应线段成比例 例3如图，在中，点D、E分别在AB、AC边上，，BE与CD相交于点F，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 举一反三 3-1.如图，正方形ABCD中，点F在边AB上，且AF：FB＝1：2，AC与DF交于点N． （1）当AB＝4时，AN＝ ． （2）S△ANF：S四边形CNFB＝ ．（S表示面积） 3-2.如图，为平行四边形的边延长线上的一点，连接．交于，交于． 求证：． 3-3.如图，已知梯形中，．是边上一点，与对角线交于点，且． 求证： (1)； (2)． 题型四 相似三角形的综合问题 例4如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD上一点，，连接BE交AC于点G，延长BE交CD的延长线于点F，则的值为（　　） A． B． C． D． 举一反三 4-1.如图，D是等边△ABC边AB上的一点，且AD：DB＝2：3，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上，则CE：CF＝（　　） A． B． C． D． 4-