4.5.1 函数的零点与方程的解（8大题型）精讲-【题型分类归纳】2023-2024学年高一数学同步讲与练（人教A版2019必修第一册）

4.5.1 函数的零点与方程的解 重点：1、理解函数零点与方程解的关系；2、掌握函数零点存在定理的应用。 难点：1、能借助函数的单调性及图象判断零点个数；2、结合指数函数和对数函数，进一步了解函数零点与方程的解的关系。 一、函数的零点与方程的根 1、定义：如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点. 2、注意事项： （1）函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零； （2）函数的零点也就是函数的图象与轴交点的横坐标； （3）函数的零点就是方程的实数根． 3、方程、函数、图象之间的关系 方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点． 二、零点存在定理及其推论 1、定理：如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且， 那么，函数在区间内至少有一个零点， 即存在，使得，这个也就是方程的解。 【注意】（1）定义不能确定零点的个数； （2）不满足定理条件时依然可能有零点； （3）定理中的“连续不断”是必不可少的条件； （4）定理反之是不成立的. 2、重要推论： （1）推论1：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，， 且具有单调性，则函数在区间内只有一个零点. （2）推论2：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线， 函数在区间内有零点，且函数具有单调性，则 三、零点个数的判断方法 1、直接法：直接求零点，令，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点. 2、定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间上是连续不断的曲线，且， 结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点. 3、图象法： （1）单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数； （2）两个函数图象：将函数拆成两个函数和的差，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象的交点个数 4、性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到； 若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数 四、判断函数零点所在区间的步骤 第一步：将区间端点代入函数求函数的值； 第二步：将所得函数值相乘，并进行符号判断； 第三步：若符号为正切在该区间内是单调函数，则函数在该区间内无零点； 若符号为负且函数图象连续，则函数在该区间内至少一个零点。 五、已知函数零点个数，求参数取值范围的方法 1、直接法：利用零点存在的判定定理构建不等式求解； 2、数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围； 3、分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解． 题型一 求函数的零点 【例1】（2023上·安徽·高一校联考阶段练习）函数的零点是（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2023·陕西·高三西安第三十八中学校考模拟预测）函数的零点为（ ） A． B．2 C． D． 【变式1-2】（2022·全国·模拟预测）已知函数，则函数的零点为 . 【变式1-3】（2023上·福建·高三莆田一中校考开学考试）设函数，则方程的解集为 . 题型二 零点所在区间的判断 【例2】（2023上·湖南株洲·高一南方中学校考期中）函数的零点所在区间为（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2023下·江苏连云港·高一统考期中）函数的零点所在的区间是（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2023上·山西运城·高一统考期末）函数在的零点所在区间是（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2023·全国·高一专题练习）设为方程的解，若，则的值为 . 题型三 根据零点所在区间求参数 【例3】（2023上·河南郑州·高一统考期中）（多选）若二次函数的一个零点恰落在内，则实数的值可以是（ ） A． B． C． D．1 【变式3-1】（2024上·内蒙古·高三统考开学考试）若函数存在1个零点位于内，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2023·高一课时练习）若函数在区间内恰有一个零点，其中，则的值为 ． 【变式3-3】（2022上·全国·高一专题练习）已知函数的零点在区间上，则的取值范围为 ． 题型四 判断函数零点的个数 【例4】（2023·全国·高一课堂例题）函数的零点