4.4 对数函数（10大题型）精讲-【题型分类归纳】2023-2024学年高一数学同步讲与练（人教A版2019必修第一册）

4.4 对数函数 重点：1、理解并掌握对数函数的概念、图象与性质；2、掌握对数函数的单调性等性质。 难点：1、运用对数概念解决问题；2、底数a对图象的影响及对数函数性质的应用；3、对数函数性质的综合应用。 一、对数函数的概念 1、定义：函数（且）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域为． 2、特殊的对数函数 （1）常用对数函数：以10为底的对数函数. （2）自然对数函数：以无理数e为底的对数函数. 二、对数函数的图象与性质 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域 (0，＋∞) 值域 R 过定点 过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0 函数值的变化 当0＜x＜1时，y＜0； 当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时，y＜0 单调性 是(0，＋∞)上的增函数 是(0，＋∞)上的减函数 【小结】当时，图象呈上升趋势；当时，图象呈下降趋势； 当时，a越大，图象向右越靠近x轴；时，a越小，图象向右越靠近x轴. 三、判断一个函数是否为对数函数的方法 判断一个函数是对数函数必须是形如的形式，即必须满足以下条件 （1）系数为1； （2）底数为大于0且不等于1的常数； （3）对数的真数仅有自变量 四、对数值比较大小的常用方法 1、同底：可直接利用单调性求解； 2、不同底：一种方法是化为同底，另一种方法是寻找中间量； 3、不同底单同真数：可利用图象的高低与底数的大小关系来解决，或利用换底公式化为同底再进行比较； 4、底数和真数都不相同：常借助中间量-1,0,1来进行比较； 5、如果底数为字母：要分类讨论，进行分类讨论时，要做到不重不漏。 五、解决对数型复合函数单调性问题的思路 1、型：函数的单调性与函数的单调性在时相同，在时相反； 2、型：一般用换元法，即令，则只需要研究及的单调性即可。 注意：研究对数型复合函数的单调性，一般要注意先研究函数的定义域。 六、解简单对数不等式的方法 1、形如的不等式：借助的单调性求解，如果的取值不确定，需分或两种情况讨论； 2、形如的不等式：应将化为以为底的对数式的形式，再借助的单调性求解； 3、形如的不等式：可利用图象求解。 题型一 对数函数定义的判断 【例1】（2022上·云南曲靖·高一校考阶段练习）下列函数是对数函数的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2022·高一课时练习）下列函数中，是对数函数的是（ ） A．y＝logxa(x>0且x≠1) B．y＝log2x－1 C． D．y＝log5x 【变式1-2】（2023上·高一课时练习）下列函数，其中为对数函数的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2023·全国·高一课堂例题）（多选）下列函数中为对数函数的是（ ） A． B． C． D．（是常数） 题型二 求对数函数的解析式 【例2】（2023上·高一课时练习）若函数是对数函数，则a的值是（ ） A．1或2 B．1 C．2 D．且 【变式2-1】（2022上·北京·高一校考期中）函数为对数函数，则 ． 【变式2-2】（2023上·高一课时练习）已知对数函数过点，则的解析式为 . 【变式2-3】（2023上·高一课时练习）对数函数的图象过点，则对数函数的解析式为 . 题型三 对数函数的定义域问题 【例3】（2023上·重庆·高一统考期末）函数的定义域是（ ） A． B． C．且 D．且 【变式3-1】（2023上·高一课时练习）函数 的定义域是（ ） A． B．或 C． D．或 【变式3-2】（2023上·辽宁·高三校联考开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【变式3-3】（2023下·云南曲靖·高一校考阶段练习）求函数的定义域 . 题型四 对数型函数过定点问题 【例4】（2022上·江西·高一校联考阶段练习）函数（且）恒过定点（ ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2023下·贵州黔东南·高一校考阶段练习）函数（且）的图象必经过点 . 【变式4-2】（2023·安徽安庆·高三校联考模拟预测）已知函数恒过定点，则的最小值为（ ）． A． B． C．3 D． 【变式4-3】（2023上·山东临沂·高一统考期末）一次函数的图象经过