4.3 对数（6大题型）精讲-【题型分类归纳】2023-2024学年高一数学同步讲与练（人教A版2019必修第一册）

4.3 对数 重点：1、对数的概念，指数式与对数式的互化；2、对数的简单性质．对数的运算性质、换底公式； 难点：1、对数概念的理解，指数式与对数式之间的熟练转化；2、灵活运用对数运算性质和换底公式. 一、对数的概念 1、定义：一般地，如果（，且），那么数x叫做以a为底N的对数， 记作，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 2、对数的基本性质 ①当，且时，． ②负数和0没有对数，即. ③特殊值：1的对数是0，即0（，且）； 底数的对数是1，即（，且）． 二、常用对数与自然对数 1、常用对数：以10为底的对数叫做常用对数，简记为； 2、自然对数：以无理数为底的对数称为自然对数，简记为 三、对数的运算性质 1、运算性质：,且， （1）； （2）； （3） 2、换底公式 (a＞0，且a1；c＞0，且c1；b＞0)． 3、可用换底公式证明以下结论： ①； ②； ③； ④； ⑤. 题型一 对数定义的理解 【例1】（2022上·河北唐山·高一校考阶段练习）(多选)下列说法正确的有（ ） A．零和负数没有对数 B．任何一个指数式都可以化成对数式 C．以为底的对数叫做常用对数 D．以为底的对数叫做自然对数 【变式1-1】（2023·全国·高一专题练习）在中，实数的取值范围是（ ） A．或 B．或 C． D． 【变式1-2】（2022上·江苏·高一南通中学校考阶段练习）已知对数式有意义，则a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2023·上海·高一专题练习）在对数式中，实数的取值范围是 ． 题型二 对数式与指数式的互化 【例2】（2023上·高一课时练习）将化为对数式正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2021上·高一单元测试）下列指数式与对数式互化不正确的一组是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式2-2】（2023·高一课时练习）将下列对数式改写成指数式或指数式改写为对数式： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式2-3】（2022·高一课时练习）将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： （1）； （2）； （3）； （4）． 题型三 解简单的对数方程 【例3】（2023上·河南信阳·高一统考期末）方程的解是（ ） A．32 B．16 C．8 D．4 【变式3-1】（2023·高一课时练习）方程的解集是（ ）． A． B． C． D． 【变式3-2】（2023·江苏·高一专题练习）方程的实数解为 . 【变式3-3】（2023上·高一课时练习）已知关于x的方程满足，则方程的解是 ． 题型四 利用对数运算性质化简 【例4】（2023上·河南·高一校联考期中）计算： . 【变式4-1】（2023上·四川·高三内江第二中学校考阶段练习）计算： 【变式4-2】（2023·全国·高一专题练习）计算：. 【变式4-3】（2023·全国·高一随堂练习）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 题型五 用已知对数表示其他对数 【例5】（2023上·江苏盐城·高一校联考期中）设，，则（ ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2023上·上海·高一华师大二附中校考期中）已知，，则a，b表示 ． 【变式5-2】（2023·江苏·高一专题练习）设，，用，表示下列各对数： （1）； （2）； （3）． 【变式5-3】（2023·全国·高一课时练习）用，，表示下列各式： （1）； （2）； （3）； （4）． 题型六 利用换底公式证明恒等式 【例6】（2023上·福建·高三福州第一中学校考期中）设a，b，c都是正数，且，那么下列关系正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2023·全国·高一随堂练习）设，，，且，，利用对数的换底公式证明： （1）； （2）． 【变式6-2】（2023·全国·高一随堂练习）已知，求证：． 【变式6-3】（2022·高一课时练习）已知：，求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.3 对数 重点：