第23讲 平行 垂直(五大题型)-2023-2024学年七年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（苏科版）

第23讲 平行 垂直 一、平行 1.平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线. 如下图，两条直线互相平行，记作AB∥CD或a∥b. 要点： （1）同一平面内的两条直线的位置:平行与相交. （2）互相平行的两条直线永远没有公共点，两条相交直线有且只有一个公共点. （3）互相重合的直线通常看做一条直线. （4）两条线段或射线平行是指它们所在的直线平行. 2.平行线的做法： 小学用直尺和三角尺画平行线步骤：一放、二靠、三移、四画. 如下图. 3.平行线的一个基本事实：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. 要点：由基本事实可以推出下面的结论成立： 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行. 二、垂线 1．垂线的定义：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．如下图，两条直线互相垂直，记作或AB⊥CD垂直于点O. 要点：垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有： CD⊥AB． 2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)． 要点： (1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上． (2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段． 3．垂线的性质： （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短． 要点： （1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性． （2）性质（2）是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短．在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题． 4．点到直线的距离： 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离． 要点： （1） 点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离； （2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度． 题型1：平面内两条直线的位置关系 1．在同一平面内，两条直线的位置关系可能是（　　） A．相交或垂直 B．垂直或平行 C．平行或相交 D．相交或垂直或平行 2．下列说法正确的是（    ） A．在同一平面内，两条线段不相交就平行 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．两条射线或线段平行是指它们所在直线平行 D．两条不相交的直线是平行线 题型2：立体图形中平行的棱 3．如图，在正方体中，下列各棱与棱平行的是（　　） A． B． C． D． 4．已知长方体ABCD-EFGH如图所示，那么下列各条棱中与棱GC平行的是（　　　） A．棱EA； B．棱AB； C．棱GH； D．棱GF． 题型3：画平行线 5．已知三角形ABC，过AC的中点D作AB的平行线，根据语句作图正确的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，已知A、B、C三点，过点A可画直线BC的平行线的条数是（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 7．如图是利用直尺移动三角板过直线外一点作直线的平行线的方法，小明经过多次实践后发现只能作一条平行线，这反映了 ． 8．如图，利用三角尺和直尺可以准确的画出直线AB∥CD，下面是某位同学弄乱了顺序的操作步骤： ①沿三角尺的边作出直线CD； ②用直尺紧靠三角尺的另一条边； ③作直线AB，并用三角尺的一条边贴住直线AB； ④沿直尺下移三角尺；正确的操作顺序应是： ． 题型4：垂线的定义、画法、垂线段最短 9．如图，在同一平面内，，，垂足为O，则与重合的理由是（    ）    A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．垂直于同一直线的两条直线平行 10．在同一平面内，经过一点（已知直线上或直线外），能画出已知直线的垂线数为（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 11．如图，P是直线l外一点，从点P向直线l引，，，几条线段，其中只有与l垂直，这几条线段中长度最短的是（    ）    A． B． C． D． 12．下列选项中，过点画直线的垂线，三角尺的摆放方式正确的是（    ） A． B．   C．   D．   13．如图，点在直线外，点在直线上，连接．选择适当的