3.1.2椭圆的几何性质课件(第一节课用)-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

椭圆的几何性质 课本P41例3 P42练习4 一. 求点的轨迹方程 复习练习 如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP’中点M的轨迹。 解：设M(x,y), P(x0,y0) 所以M点的轨迹是一个椭圆。 复习练习 P为椭圆 + =1上一点,F1、F2是其左、右焦点 （1）若|PF1|=3,则|PF2|=_________________ （2）过左焦点F1任作一条弦AB， 则⊿ABF2的周长为___ （3）若点P在椭圆上运动, 则|PF1|·|PF2|的最大值为___ y x 0 F2 F1 P B A P 二、椭圆 简单的几何性质 1、范围： -a≤x≤a, -b≤y≤b 椭圆落在x=±a,y= ± b组成的矩形中 o y B2 B1 A1 A2 F1 F2 c a b 2、椭圆的顶点 令 x=0，得 y=？，说明椭圆与 y轴的交点（ ）， 令 y=0，得 x=？, 说明椭圆与 x轴的交点（ ）。 *顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。 o x y B1(0,b) B2(0,-b) A1 A2(a,0) 0, ±b ±a, 0 *长轴、短轴： 线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。 a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 焦点总在长轴上! 3.椭圆的对称性 Y X O P（x，y） P1（-x，y） P2（-x，-y） 3、椭圆的对称性 把(X)换成(-X),方程不变,说明椭圆关于( )轴对称； 把(Y)换成(-Y),方程不变,说明椭圆关于( )轴对称； 把(X)换成(-X), (Y)换成(-Y),方程还是不变,说明椭圆关于( )对称； 中心：椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。 o x y 所以，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。 Y X 原点 1 2 3 -1 -2 -3 -4 4 y 1 2 3 -1 -2 -3 -4 4 y 1 2 3 4 5 -1 -5 -2 -3 -4 x 1 2 3 4 5 -1 -5 -2 -3 -4 x 根据前面所学有关知识画出下列图形 （1） （2） A1 B1 A2 B2 B2 A2 B1 A1 4、椭圆的离心率 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比： 叫做椭圆的离心率。 [1]离心率的取值范围： 1）e 越接近 1，c 就越接近 a，从而 b就越小，椭圆就越扁 因为 a > c > 0，所以0<e <1 [2]离心率对椭圆形状的影响： 2）e 越接近 0，c 就越接近 0，从而 b就越大，椭圆就越圆 3）特例：e =0，则 a = b，则 c=0，两个焦点重合，椭圆方程变为（？） y O x 标准方程 范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 半轴长 离心率 a、b、c的关系 |x|≤ a,|y|≤ b 关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称 (a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b) (c,0)、(-c,0) 长半轴长为a,短半轴长为b. a>b a2=b2+c2 |x|≤ b,|y|≤ a 同前 (b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a) (0 , c)、(0, -c) 同前 同前 同前 内容升华 4 一个范围，三对称 四个顶点，离心率 例1、已知椭圆方程为16x2+25y2=400，则 它的长轴长是： ；短轴长是： ； 焦距是： ；离心率等于： ； 焦点坐标是： ；顶点坐标是： ； 外切矩形的面积等于： ； 10 8 6 80 解题步骤： 1、将椭圆方程转化为标准方程求a、b： 2、确定焦点的位置和长轴的位置. <例题2>求适合下列条件的椭圆的标准方程 (1) a=6, e= , 焦点在x轴上 (2) 离心率 e=0.8, 焦距为8 (3) 长轴是短轴的2倍, 且过点P(2,-6) 求椭圆的标准方程时, 应: 先定位(焦点), 再定量（a、b） 当焦点位置不确定时，要讨论，此时有两个解！ (4)在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，