3.3.1抛物线定义及其标准方程课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

想一想 ？ 请同学们思考两个问题 1、对于抛物线你能想到什么呢？ 2、二次函数的图像为抛物线， 开口方向是怎样的呢？ 如图，我们在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF上，在拉锁D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线．这是一条什么曲线，由画图过程你能给出此曲线的定义吗？ 情景引入 平面内与一个定点F和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 定点F叫做抛物线的焦点。 定直线L叫做抛物线的准线。 抛物线的定义： 即: ︳ ︳ ︳ ︳ · · F M L N l N F M · · 求曲线方程的基本步骤是怎样的？ 想一想？ 抛物线标准方程的推导 1.建:建立直角坐标系. 3. 列:根据条件列出等式; 4. 代:代入坐标与数据; 5. 化:化简方程. 2.设:设点(x,y); 回顾求曲线方程一般步骤： 设焦点到准线的距离为常数P(P>0)如何建立坐标系,求出抛物线的标准方程呢？ 抛物线标准方程的推导 试一试？ · · F M l N 则F（ ，0），L：x =- p 2 p 2 设动点M的坐标为（x，y） 化简得 y2 = 2px（p＞0） 2 取过焦点F且垂直于准线L的直线为x轴， 线段KF的中垂线为y轴， 抛物线标准方程的推导： 解：如图，设︱KF︱= p ( p> 0) 由抛物线的定义可知， x y o · · F M L N K 方程 y2 = 2px（p＞0） 叫做抛物线的标准方程 其中 p 为正常数，它的几何意义是: 焦 点 到 准 线 的 距 离 抛物线的标准方程： 即右焦点F（ ，0）， 左准线L：x =- p 2 p 2 但是，一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其它形式。 方程 y2 = 2px（p＞0）表示的抛物线， 其焦点位于X轴的正半轴上，其准线交于X轴的负半轴 抛物线的标准方程： y x o ﹒ 抛物线的标准方程还有哪些形式? 想一想？ 抛物线的标准方程 其它形式的抛物线的焦点与准线又如何呢？ 抛物线方程 左右型 标准方程为 y2 =+ 2px (p>0) 开口向右: y2 =2px(x≥ 0) 开口向左: y2 = -2px(x≤ 0) 标准方程为 x2 =+ 2py (p>0) 开口向上: x2 =2py (y≥ 0) 开口向下: x2 = -2py (y≤0) 抛物线的标准方程: 上下型 准线方程 焦点坐标 标准方程 焦点位置 图 形 四种抛物线及其它们的标准方程: x轴的 正半轴上 x轴的 负半轴上 y轴的 正半轴上 y轴的 负半轴上 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py F(- - - - 第一：一次项的变量如为X（或Y） 则焦点就在X轴（或Y轴）上。 抛物线的特征： 如何判断抛物线的焦点位置，开口方向？ 第二：一次项系数的正负决定了开口 方向 即：焦点与一次项变量相同； 一次项系数正负决定开口方向 例1（1）已知抛物线的标准方程是y2 = 6x， 求它的焦点坐标和准线方程； （2）已知抛物线的方程是y = －6x2, 求它的焦点坐标和准线方程； （3）已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2）， 求它的标准方程。 解:因焦点在y轴的负半轴上,且p=4, 故其标准方程为: x = - 8y 2 32 解：因为ｐ＝３，故焦点坐标为（－ ,０） 32 准线方程为x=- －. 解:方程可化为: 故焦点坐标为 , 准线方程为 例题讲解: 1、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： （1）y2 = 20x （2）y=2x2 （3）2y2 +5x =0 （4）x2 +8y =0 焦点坐标 准线方程 （1） （2） （3） （4） （5，0） x= -5 （0，—） 1 8 y= - — 1 8 8 x= — 5 （- —，0） 5 8 （0，-2） y=2 练习1： 注意：求抛物线的焦点一定要先把抛物线化为标准形式 2、根据下列条件，写出抛物线的标准方程： （1）焦