5-3平面向量的数量积及平面向量的应用学练案-2024届高三数学一轮复习

高三数学一轮复习学练案（第22期） 编写人：朱振国 审查人： 吕亮 使用日期：2023. 11 5-3平面向量的数量积及平面向量的应用 一、自主复习【查】 考试要求　1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题；6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 【必备知识】 1.平面向量数量积的有关概念 (1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角. (2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则a与b的数量积(或内积)a·b＝ .规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0. (3)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影 的乘积. 2.平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角. (1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2. (2)模：|a|＝＝. (3)夹角：cos θ＝＝. (4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. (5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ ·. 3.平面向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律). (2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律). (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律). 常用结论与微点提醒 1.向量a在向量b方向上的投影与向量b在向量a方向上的投影不是一个概念，要加以区别. 2.两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b>0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b<0且a，b不共线. 3.平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2. 二、师生研学【研】 【学习过程】 考点一　平面向量的数量积运算 【例1】 (1)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则·＝________. (2)在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，CB＝2，CA＝4，P在边AC的中线BD上，则·的最小值为(　　) A.－ B.0 C.4 D.－1 【训练1】 (1)已知|a|＝|b|＝1，向量a与b的夹角为45°，则(a＋2b)·a＝________. (2)在△ABC中，|BC|＝4，(＋)·＝0，则·＝(　　) A.4 B.－4 C.－8 D.8 考点二　平面向量数量积的应用　 角度1　垂直问题 【例2－1】已知△ABC中，∠A＝120°，且AB＝3，AC＝4，若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为(　　) A. B. C.6 D. 角度2　长度问题 【例2－2】 (1)平面向量a，b满足|a|＝4，|b|＝2，a＋b在a方向上的投影为5，则|a－2b|为(　　) A.2 B.4 C.8 D.16 (2)已知向量，满足||＝||＝2，·＝2，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，且λ＋μ＝1，则||的最小值为(　　) A.1 B. C. D. 角度3　夹角问题 【例2－3】 已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为(　　) A. B. C. D. 【训练2】 (1)已知向量a＝(－4，3)，b＝(6，m)，且a⊥b，则m＝________. (2)已知平面向量a＝(2m－1，2)，b＝(－2，3m－2)，且a⊥b，则|2a－3b|＝______. (3)已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－b，则cos〈a，c〉＝________. 考点三　平面向量与三角函数 【例3】 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cos(A－B)，sin(A－B))，n＝(cos B，－sin B)，且m·n＝－. (1)求sin A的值； (2)若a＝4，b＝5，求角B的大小及向量在方向上的投影. 、 【训练3】 已知向量a＝，b＝(－sin x，sin x)，f(x)＝a·b. (1)求函数f(x)的最小正周期及f(x)的最大值； (