5-2平面向量基本定理及坐标表示学练案-2024届高三数学一轮复习

高三数学一轮复习学练案（第21期） 编写人：吕亮 审查人： 朱振国 使用日期：2023. 11 5-2平面向量基本定理及坐标表示 一、自主复习【查】 考试要求　1.了解平面向量的基本定理及其意义；2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 【必备知识】 1.平面向量的基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任意向量a， 一对实数λ1，λ2，使a＝ . 其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 2.平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量正交分解. 3.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝ ，a－b＝ ，λa＝ ，|a|＝ . (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝ ，||＝ . 4.平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔ . 常用结论 1.平面内不共线向量都可以作为基底，反之亦然. 2.若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0. 3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的. 【真题再现】 1．【2022年全国乙卷】已知向量，则（       ） A．2 B．3 C．4 D．5 2、【2021年乙卷文科】已知向量，若，则_________． 3、【2018年新课标3卷理科】已知向量，，．若，则________． 4．【2019年新课标2卷理科】已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则= A．-3 B．-2 C．2 D．3 5．【2021年甲卷文科】若向量满足，则_________. 6．【2021年甲卷理科】已知向量．若，则________． 7．【2020年新课标1卷文科】设向量，若，则______________. 二、师生研学【研】 【学习过程】 典型例题 考点一　平面向量基本定理及其应用 【例1】 如图，＝2，＝2，＝m，＝n，若m＝，那么n＝(　　) A. B. C. D. 【训练1】 在△ABC中，D为三角形所在平面内一点，且＝＋.延长AD交BC于E，若＝λ＋μ，则λ－μ的值是________. 考点二　平面向量的坐标运算 【例2】 (1)已知四边形ABCD的三个顶点A(0，2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且＝2，则顶点D的坐标为(　　) A. B. C.(3，2) D.(1，3) (2)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 【训练2】 已知O为坐标原点，点C是线段AB上一点，且A(1，1)，C(2，3)，||＝2||，则向量的坐标是________. 考点三　平面向量共线的坐标表示　 角度1　利用向量共线求向量或点的坐标 【例3－1】 已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，则AC与OB的交点P的坐标为________. 角度2　利用向量共线求参数 【例3－2】 (1)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ).若c∥(2a＋b)，则λ＝________. (2)已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若ma＋nb与a－3b共线，则＝________. 【训练3】 (1)已知向量a＝(1，1)，点A(3，0)，点B为直线y＝2x上的一个动点，若∥a，则点B的坐标为________. (2)已知向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k的值是________. 三、训练提升【练】 【当堂检测】 当堂检测 1.已知点A(1，3)，B(4，－1)，则与同方向的单位向量是(　　) A. B. C. D. 2