5-1平面向量的概念及线性运算学练案-2024届高三数学一轮复习

高三数学一轮复习学练案（第20期） 编写人：朱振国 审查人： 吕亮 使用日期：2023. 11 5-1平面向量的概念及线性运算 一、自主复习【查】 考试要求：主要考查复数的基本概念(复数的实部、虚部、共轭复数、复数的模等)，复数相等的充要条件，考查复数的代数形式的四则运算，重点考查复数的除法运算，突出考查运算能力与数形结合思想．一般以填空题的形式出现，难度为低档。 【必备知识】 1.向量的有关概念 (1)向量：既有 又有 的量叫做向量，向量的大小叫做向量的 (2)零向量： 的向量，其方向是任意的. (3)单位向量：长度等于 的向量. (4)平行向量：方向 或 的非零向量.平行向量又叫 .规定：0与任一向量 . (5)相等向量：长度 且方向 的向量. (6)相反向量：长度 且方向 的向量. 2.向量的线性运算 向量 运算 定　义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量 和的运算 (1)交换律： a＋b＝ (2)结合律： (a＋b)＋c＝ 减法 减去一个向 量相当于加 上这个向量 的相反向量 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝ ； (2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向 ；当λ＜0时，λa的方向与a的方向 ；当λ＝0时，λa＝ λ(μa)＝ ； (λ＋μ)a＝ ； λ(a＋b)＝ ； 3.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得 . 常用结论： 1.中点公式的向量形式：若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋). 2.＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线，则λ＋μ＝1. 二、师生研学【研】 【学习过程】 考点一　平面向量的概念 【例1】 (1)设a，b都是非零向量，下列四个条件中，一定能使＋＝0成立的是(　　) A.a＝2b B.a∥b C.a＝－b D.a⊥b (2)给出下列命题： ①若a＝b，b＝c，则a＝c； ②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件； ③a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b. 其中正确命题的序号是________. 【训练1】 (1)如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式中成立的是(　　) A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ (2)给出下列说法： ①非零向量a与b同向是a＝b的必要不充分条件； ②若与共线，则A，B，C三点在同一条直线上； ③a与b是非零向量，若a与b同向，则a与－b反向； ④设λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线. 其中错误说法的序号是________. 考点二　向量的线性运算　 角度1　平面向量的加、减运算的几何意义 【例2－1】 已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下列结论正确的是(　　) A.a∥b B.a⊥b C.|a|＝|b| D.a＋b＝a－b 角度2　向量的线性运算 【例2－2】 如图所示，在正方形ABCD中，E为BC的中点，F为AE的中点，则＝(　　) A.－＋ B.＋ C.－ D.－ 角度3　利用向量的线性运算求参数 【例2－3】在△AOB中，＝，D为OB的中点，若＝λ＋μ，则λμ的值为________. 【训练2】 (1)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝(　　) A.－ B.－ C.＋ D.＋ (2)在△ABC中，O为△ABC的重心，若＝λ＋μ，则λ－2μ＝(　　) A.－ B.－1 C. D.－ 考点三　共线向量定理及其应用 【例3】 设两向量a与b不共线. (1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b).求证：A，B，D三点共线； (2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线. 【训练3】 (1)已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb，λ，μ∈R，则A，B，C三点共线的充要条件为(　　) A.λ＋μ＝2 B.λ－μ＝1 C.λμ＝－1 D.λμ＝1 (2)已知＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则下列一定共线的三点是(　　) A.A，B，C B