二面角及其求法 课件-2024届高三数学一轮复习

二面角及其求法 平面内一条直线把平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，记作α－l－β；其中这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面。   l 二面角－ l－  A B C E F D 二面角C－AB－ E 一、基本概念 度量：在二面角α－l－β的棱上任取一点O，在两个半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l,则∠AOB叫做二面角α－l－β的平面角，显然，这个平面角与点O在l上的位置无关. 二、二面角的求法 1、定义、三垂线定理 2、向量：（1）方向向量（2）法向量 3、射影 （几何法） 1. 定义法 ι 在二面角的棱上找一特殊点，在两个平面内分别做垂直于棱的两条射线 例: 在正方体ABCD-A'B'C'D'中，找出下列二面角的平面角： （1）二面角C'-BD-C；（2）二面角D'-AB-D. B A C D A' B' C' D' O B A C D A' B' C' D' 例: 在正方体ABCD-A'B'C'D'中，找出下列二面角的平面角： （1）二面角C'-BD-C；（2）二面角D'-AB-D. B   l A O ----“三垂线法” 过点A作AB⊥平面β交于点B ， 过点A作AO⊥直线 l 交于O， 【思考】如图，点A在二面角α-l-β的半平面α上一点，过点A如何确定二面角α-l-β的平面角？ 三垂线定理的应用 连结OB ，则∠AOB为所求的角 变式训练 如图,在四面体P-ABC中,PC⊥平面ABC,AB＝BC＝AC＝PC,求二面角B－AP－C的正切值. 三、向量法 1、直线的方向向量 例．如图，在一个二面角的棱上有两个点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，AB=4cm, AC=6cm，BD=8cm，CD= cm，求这个二面角的度数。 l l 注意:解题时我们只需观察图形是二面角是锐角还是钝角， 再根据所求法向量夹角的余弦值下结论即可！ 2.法向量： 例.如图,四棱锥P­ABCD中,PA⊥底面ABCD.底面ABCD为边长是1的正方形,PA＝1,求平面PCD与平面PAB夹角的大小. 【题后反思】 几何法求二面角，往往需要作出其平面角，这是该方法的一大难点．而用向量法求解二面角，无需作出二面角的平面角，只需求出平面的法向量，转化为两直线(或两向量)所成的角，通过向量的数量积运算即可获解，体现了空间向量的巨大优越性． 三、射影法 已知：二面角α－l－β的度数为θ (0≤ θ ≤ )，在α面内有△ABC，它在β内的射影为△A'BC，它们的面积分别为S，S'，求证：S'=Scosθ. 证明：不妨假定△ABC的边BC在l上， 作BC边的高AD，AD在β内的射影为A'D， 根据正射影的性质，知A'D=ADcosθ， S'=BC×A'D =BC×ADcosθ =Scosθ. 例.如图,四棱锥P­ABCD中,PA⊥底面ABCD.底面ABCD为边长是1的正方形,PA＝1,求平面PCD与平面PAB夹角的大小. 二面角的求法 1、定义法：过棱的一点在两个平面内分别做棱的垂线 2、三垂线定理：找到一个面内的一点到另一个面的垂线 3、直线（垂直于棱）的方向向量，注意把握方向 4、平面的法向量 （注意是锐角还是钝角） 5、射影法：一个面内图形在另一个面内的射影面积与原图形面积的比值 小结 例题　利用三垂线定理及逆定理求二面角 如图,在直三棱柱ABC－A1B1C1中,AB＝1,AC＝AA1＝eq \r(3),∠ABC＝60°. 求二面角A－A1C－B的正切值. 证明:因为三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱,所以AB⊥AA1,在△ABC中,AB＝1,AC＝eq \r(3), ∠ABC＝60°,所以∠BAC＝90°,即AB⊥AC.又AC∩AA1＝A,所以AB⊥平面ACC1A1. 作AD⊥A1C于D点,连接BD.由三垂线定理知BD⊥A1C,所以∠ADB为二面角A－A1C－B的平面角.在Rt△AA1C中,AD＝eq \f(AA1·AC,A1C)＝eq \f(\r(3)×\r(3),\r(6))＝eq \f(\r(6),2).在Rt△BAD中, tan∠ADB＝eq \f(AB,AD)＝eq \f(\r(6),3), 所以二面角A－A1C－B的正切值为eq \f(\r(6),3). 分别在二面角α－l－β的面α，β内，并且沿α，β延伸的方向，有向量 ⊥l， ⊥l，则我们可以用向量 与 的夹角来度量这个二面角。 解：设 =x，由已知