第二十四章 圆 知识点 2023—2024学年人教版九年级数学上册

圆的相关概念和性质 活动一、知识点 一、圆的有关概念 1、圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，�另一个端点所形成的图形叫做 ．固定的端点O叫做 ，线段OA叫做 ．圆可以看做是平面内到定点距离等于 的点的集合。 2、圆心确定圆的 ，半径确定圆的 。圆心相同的圆的叫 ，半径相同的圆叫 。 3圆的有关概念：（1）弦：连接圆上任意两点的 ，（2）直径：经过 的弦，（3）狐：圆上任意两点的 。 4、 圆的对称性 （1）圆是 图形，任意一条直径所在的 是它的对称轴。（2）圆是 图形，对称中心是 。 二、垂径定理 1、垂径定理：垂直于弦的直径 弦，而且 弦所对的两条 。 2、垂径定理的应用：（1）基本图形：如图： （2）使用的定理： 和 。 （3）作用：求弦或 。 例题：如图是一圆柱形输水管道的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8cm，水面最深地方的高度为2cm,则该输水管的半径是 。 三、圆心角和圆周角 1、定义：（1）圆心角：顶点在 且两边都和圆相交的角叫做圆心角。（2）圆周角：顶点在 上且两边都和圆相交的角叫圆周角。 2、性质：（1）圆心角定理：同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦三组量中只要有一组量 ，那么其它两组量也 。 （2）圆周角定理：同圆或等圆中，同狐或等狐所对的圆周角 。 （3）圆心角和圆周角的关系：一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的 。 （4）推论：半圆或直径所对的圆周角是 ，90°的圆周角所对的弦是 。 例题：如图，⊙O中，OABC,AOB=50°，则ADC= 。 与圆有关的位置关系 活动一、知识点 一、点和圆的位置关系 点和圆的位置关系 图形 d与r的关系 点在圆内 d r 点在圆上 d r 点在圆外 d r （2）三角形的外接圆：过不在一条直线上的三点可以做 个圆，三角形的外心是三角形三条 的交点。 例题：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，则它的外心与顶点C的距离为 。 二、直线和圆的位置关系 直线和圆的位置关系 相交 相切 相离 图形 公共点的个数 d与r的关系 d r d r d r 三、切线的性质和判定 1、判定：（1）切线的判定定理：经过半径的外端并且 这条半径的直线是圆的切线。 （2）直线和圆相切：d r 注意：当直线和圆有公共点时，用判定 ，即“连半径证垂直”。当直线和圆不知有无公共点时，用判定 ，即“做垂直证半径”。 2、性质：圆的切线 过切点的半径。 ( A F C G O D E B )例题：如图，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为E，连接AC，将△ACE沿AC翻折得到△ACF，直线FC与直线AB相交于点G． （1）直线FC与⊙O有何位置关系？并说明理由； （2）若，求CD的长． 3、切线长定理：过圆外一点可以做圆的 条切线，它们的切线长 ，这一点和圆心的连线 两条切线的夹角。 ( 1题图 )4、三角形的内切圆：和三角形三边都 的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条 的交点。 例题：如图，O是△ABC的内心. （1）若∠ABC=500，∠ACB=700，则∠O= ， （2）若∠A=800，则∠O= ， （3）若∠O=1300，则∠A= . 弧长、扇形面积和圆锥的侧面积和全面积 一、弧长：公式为： 。例题：1、一条弧所对的圆心角为60°，半径为6，则这条弧长为 。 2.若一条弧长为12，圆心角为120°，则半径为 。 二、扇形的面积：公式为：（1） ，（2） 。 例题：1.一扇形半径为60cm, 圆心角为150°，则扇形的面积是 . 2.一扇形的弧长为20 cm ,面积为 240cm2 ，