福建省晋江市第一中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题

晋江一中2023年秋季高二年期中考试 数 学 试 题 （满分150分 考试时间：120分钟） 第I卷（选择题） 一、单选题（本大题共8小题，共40分） 1．已知两个向量，，且，则的值为（   ） A．1 B． C． D．6 2.在数列中，，且，则(   ) A. B. C. D. 3 已知向量在向量上的投影向量是，且，则 （ ） A. B. C. D. 4.设为坐标原点，抛物线的焦点为，为抛物线上一点．若，则的面积为(   ) A. B. C. D. 5.在四面体中，棱两两垂直，且为的重心，则（ ） A. B. C. D. 6.已知椭圆：的长轴为，直线与椭圆相交于、两点，若线段的中点为，则椭圆的方程为(   ) A. B. C. D. 7.已知是直线上一点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，当直线AB与l平行时，（ ） A. B. C. D. 4 8.在正方体中，棱长为2，平面经过点，且满足直线与平面所成角为，过点作平面的垂线，垂足为，则长度的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得2分. 9．已知递减的等差数列的前项和为，，则（ ） A. B. 最大 C. D. 10．已知，直线：，直线：，则（   ） A．若，则或 B．若，则与间距离为 C．若，则或 D．若在x轴和y轴上的截距相等，则 11．已知实数x，y满足方程，则下列说法正确的是（ ） A．的最大值为 B．的最小值为0 C．的最大值为 D．的最大值为 12.天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时，发现了平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹.我们称其为卡西尼卵形线在平面直角坐标系中，设定点为，点为坐标原点，动点满足.下列四个命题中，正确的是（ ） A. 点P的轨迹既是中心对称又是轴对称图形 B. 点的横坐标的取值范围是 C. 的最小值为 D. 的面积的最大值为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则异面直线ON，AM所成的角是___________. 14.已知点，和直线：，动点在直 线上，则的最小值为__________． 15.已知双曲线：焦距为，左、右焦点分别为，点在上且 轴，的面积为，点为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围是           16. 已知点分别是椭圆的上下焦点，点为直线上 一个动点．若的最大值为，则椭圆的离心率为______． 四、解答题（17题10分，其他各题每题12分） 17.已知圆与圆相交于，两点． 求公共弦的长 求圆心在直线上，且过，两点的圆的方程 18.已知是等差数列的前项和，且，． 求数列的通项公式与前项和； 若，求数列的前项和． 19．如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，侧面底面，且，，分别为棱，的中点． 求证：； 求平面与平面所成二面角的正弦值； 20. 已知抛物线，直线与交于两点且（为坐标原点）． （1）求抛物线的方程； （2）设，若直线的倾斜角互补，求的值． 21、如图，四棱锥的底面为菱形，，，底面，，分别是线段，的中点，是线段上的一点． 若平面，求证：为的中点； 若直线与平面所成角的正弦值为，求三棱锥体积． 22.（12分）已知双曲线C：的焦距为6，其中一条渐近线的斜率为，过点的直线l与双曲线C的右支交于P，Q两点，M为线段PQ上与端点不重合的任意一点，过点M且与平行的直线分别交另一条渐近线和C于点 （1）求C的方程； （2）求的取值范围. 晋江一中2023年秋季高二年期中考试 数 学 试 题 参 考 答 案 1-8：CABD,DBBA 9-12:ABD BC ABD ACD 17.解：由两圆方程相减即得，此为公共弦所在的直线方程． 圆心，半径到直线的距离为， 公共弦长； 法一：由得或 不妨令，，中点为，中垂线的斜率为， 中垂线的方程为，即， 由，得圆心为，半径， 所求圆的方程为； 法二：圆的圆心不在上，符合题意的圆不是圆， 设所求的圆的方程为， 即， 圆心为，在上，，， 所求圆的方程为， 18. 【答案】解：设等差数列的公差为，则，解之得． 所以数列的通项公式为， 数列的前项和． 由得，所以当时，， 由得，所以当时，，． 所以，当时， 当时， ．所以，． 19． 【答案】证明：取的中点，连接，因为，则，因为侧面底面，平面，侧面底面