精品解析：福建省厦门市湖滨中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题

2023---2024学年第一学期期中考试 高二数学 考试时长120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 直线，若的倾斜角为30°，则的斜率为( ) A. B. C. D. 2. 已知圆与圆，则圆与圆的位置关系为（ ） A. 相交 B. 外切 C. 外离 D. 内含 3. 已知直线l过点，方向向量为，则原点到的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 3 4. 如图，在三棱锥中，点D是棱中点，若，，，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 设点A，B的坐标分别是，，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，点M的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆C：的左焦点是，过的直线l：与圆：交于A，B两点，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 7. 如图，在棱锥中，，，两两垂直，，，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，动点满足，得到动点的轨迹是阿氏圆.若对任意实数，直线与圆恒有公共点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 9. 关于椭圆：，下列叙述正确的是（ ） A. 焦点在轴上 B. 长轴长为4 C. 离心率为 D. 过点 10. 已知直线：和圆O：，则（ ） A. 直线恒过定点 B. 存在k使得直线与直线：垂直 C. 直线与圆相交 D. 直线被圆截得最短弦长为 11. 如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别为棱和的中点，则（ ） A. 平面 B. C. 是平面的一个法向量 D. 点到平面的距离为 12. 已知曲线的方程为，则（ ） A. 曲线关于直线对称 B. 曲线围成的图形面积为 C. 若点曲线上，则 D. 若圆能覆盖曲线，则的最小值为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 椭圆的短半轴长是_______. 14. 正方体的棱长为4，E是的中点，则点到的距离是_______． 15. 设点是圆上任意一点，由点向轴作垂线，垂足为，且．则的轨迹的方程为___________. 16. 方程有两个不相等的实数解，则的最小值为________. 四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 焦点在轴上的椭圆的方程为，点在椭圆上. （1）求的值. （2）依次求出这个椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率. 18. 如图，已知圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点、(在的上方)，且. （1）求圆的标准方程； （2）求圆在点处的切线在轴上的截距. 19. 如图，平行六面体的底面是菱形，且，． （1）求长； （2）求异面直线与所成角的余弦值． 20. 如图，已知一艘海监船O上配有雷达，其监测范围是半径为25km的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40km的A处出发，径直驶向位于海监船正北30km的B处岛屿，速度为28km/h． （1）求外籍船航行路径所在的直线方程； （2）问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法) 21. 如图，在正方体中，为的中点，点在棱上． （1）若，证明：与平面不垂直； （2）若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 22. 已知圆过点，，且圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）设点在圆上运动，点，记为过，两点的弦的中点，求的轨迹方程； （3）在（2）的条件下，若直线与直线交于点，证明：恒为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023---2024学年第一学期期中考试 高二数学 考试时长120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 直线，若的倾斜角为30°，则的斜率为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】两直线垂直，斜率相乘等于－1. 【详解】，∴. 故选：B. 2. 已知圆与圆，则圆与圆的位置关系为（ ） A. 相交 B. 外切 C. 外离 D. 内含 【答案】B 【解析】 【分析】确定两圆的圆心和半径，由圆心间的距离与半径的关系即可得解. 【详解】圆化成标准方程为，圆心，半径为， 圆，圆心，半径， ，圆与圆的位置关系为外切， 故选：B 3. 已知直线l过点，方向向量为，则原点到的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】求出直线的解析式，即可求出原点到的距离. 【详解】由题意，