4.2.2等差数列的前n项和公式（第一课时） 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.2.2 等差数列的前项和 （第一课时） 教学内容： 1.探索并掌握等差数列的前项和公式，理解等差数列的通项公式与前项和公式的关系以及等差数列的前项和公式与二次函数的关系. 2.会用等差数列的前项和公式解决一些简单的与前项和有关的计算问题. 3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的实际问题. 4.掌握等差数列前项和的性质并能正确应用. 2 情境引入（高斯算法） 高斯(1777—1855) 德国著名数学家 享有“数学王子”之称 200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题： 1+2+3+…+100=？ 高斯的求和过程利用了等差数列的什么性质？ 求等差数列“1,2,3,…,n,…”前100项的和 高斯的算法： 不同数的求和 相同数的求和 转化 3 思考：你能用高斯的方法求1+2+3+⋯+100+101的吗？ 方法一：拿出最后一项，再首尾配对. 原式=(1+100)+(2+99)+⋯+(50+51)+101=101×50+101=5151. 方法二：拿出中间项，再首尾配对. 原式=(1+101)+(2+100)+⋯+(50+52)+51=102×50+51=5151. 方法三：先凑出偶数项，再首尾配对. 原式=0+1+2+⋯+101 =(0+101)+(1+100)+⋯+(50+51)=101×51=5151. 情境引入（高斯算法） 4 新知探究：等差数列的前项和公式 探究：将上述方法推广到一般情况求前项和 已知等差数列“1,2,3,…,n,…”，则=1+2+3+…+n=？ (n为偶数) (n为奇数) 5 新知探究：等差数列的前项和公式 上述求和方法需要对n分奇数、偶数讨论，能否设法避免分类讨论？ 对于等差数列{an}：1,2,3,…,n,… ①n为偶数时， ②n为奇数时， 倒序相加法 6 倒序相加法在等差数列求和中的应用 探究：这种求和的方法，是否可以用在求公差为 的等差数列的前项和中呢？ 因为 所以 即 倒序相加法 7 新知1：等差数列的前项和公式 等差数列的前项和n公式： 如果等差数列{an}的首项a1，公差为d ，那么该等差数列的前n项和公式为： 知首项/末项 知首项/公差 8 典例分析 例1 已知数列是等差数列. （1）若求； （2）若； （3）若 （4）若 9 课堂练习 课本P22题1 10 典例分析 例2 已知一个等差数列的前10项和是310，前 20项和是1220，求该数列的前项和． 11 典例分析 例2 已知一个等差数列的前10项和是310，前 20项和是1220，求该数列的前项和． 12 4.2.2 等差数列的前项和 （第二课时） 复习回顾： 等差数列的前项和n公式： 一个方法：倒序相加法 14 新知3：等差数列前项和的性质 问题1:从函数的观点分析关于的函数具有什么特点? 当 时，的图象是一条直线上的均匀分布的点. 当 时是二次函数. 15 典例分析： 例9 已知等差数列的前项和为，若＝10，公差，是否存在最大值？若存在，求的最大值及取得最大值时的值；若不存在，请说明理由. 16 课堂练习： 练习1 在等差数列中,＝25,＝,求的最大值． 17 课堂练习： 练习2 在等差数列中，为其前项的和，若，求 性质1. ...成等差数列，公差为 18 课堂练习： 练习3 已知等差数列的项数为奇数项，且所有奇数项之和为30，所有偶数项之和为24，求这个数列中间一项的值. 19 课堂练习： 20 课堂练习： 练习4 已知是等差数列的前项和. （1）证明是等差数列； （2）设为数列的前项和，若 性质3. 数列 是等差数列，公差为 21 课堂练习： 22 课堂小结： 23 问题4:S奇,S偶具有什么关系?对n分类讨论. 答案　若项数为2n,则S偶-S奇=a2+a4+…+a2n-a1-a3-…-a2n-1=(a2-a1)+(a4-a3)+…+(a2n-a2n-1) =d+d+…+d=nd,===; 若项数为2n-1,由等差数列的性质可知,a2+a2n-2=a1+a2n-1=…=2an, 所以S偶=a2+a4+…+a2n-2=(a2+a2n-2)=·2an=(n-1)an, S奇=a1+a3+…+a2n-1=(a1+a2n-1)=·2an=nan, 所以S奇-S偶=nan-(n-1)an=an(这里an=a中,a中是中间项),==. $$