4.2.1　等差数列的性质 课件——2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019)选择性必修第二册

复习巩固 1.等差数列的概念： an+1－an = d (d是常数, n∈N*) 2.等差中项： 3.通项公式： 4.通项公式与函数关系：等差数列的通项公式为一次型函数an=kn+b,n∈N* an= a1＋(n－1)d (n∈N*) 变式： an＝am＋(n－m)d (n,m∈N*) . a，A，b成等差数列 ⇔ ⇔A是等差中项 第 四 章 数 列 4.2.1　等差数列的性质     延时符 授课人： 日期：2023年11月19日 2 学习目标  能用等差数列的定义推导等差数列的性质，能用等差数列的性质解决一些相关问题.  能用等差数列的知识解决一些简单的应用问题.  数学抽象、数学运算、逻辑推理 3 新课知识 4 【问题1】在等差数列中,为公差,若,且,则有何关系？并请同学们证明结论. 证明： 又 又 性质1： 特别地, 若 恰为等差中项. 4 例题精讲 5 【例1】在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，那么a2＋a8等于多少？ 【解】a3＋a4＋a5＋a6＋a7 ＝5a5＝450， ∴a5＝90， 故a2＋a8＝2a5＝180. 5 新课知识 6 1.等差数列与一次函数：等差数列的通项公式 an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)， 当d＝0时，an是关于n的常数函数；当d≠0时，an是关于n的一次函数． 2.等差数列的单调性：等差数列{an}的公差为d， ①当d＞0时，数列{an}为递增数列； ②当d＜0时，数列{an}为递减数列； ③当d＝0时，数列{an}为常数列． 6 例题精讲 7 【例2】. 已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数． 【解】设这三个数为a－d，a，a＋d，由已知可得： 由①得a＝6，代入②得 ∵该数列是递增的， ∴d＝－2舍去， ∴这三个数为4，6，8. 递增数列 7 例题精讲 8 【例3】（教材16页）原价220万元 每过一年减少d(d为正常数）万元.已知这台设备的使用年限为10年，超过10年 ，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废.请确定d的范围. 解：设使用n年后，这台设备的价值为an万元，则可得数列{an}． 由已知条件，得an＝an－1－d（n≥2）． 所以数列{an}是一个公差为－d的等差数列. 因为a1＝220－d， 所以an＝220－d＋(n－1)(－d)＝220－nd. 由题意，得a10≥11，a11＜11. 即： 解得19<d≤20.9 所以，d的求值范围为19<d≤20.9 8 例题精讲 【例4】已知等差数列的首项，公差，在数列中每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列 ． (1)求数列的通项公式． 【解】(1)设数列的公差为． 由题意可知，，， 于是， 因为，所以． 所以． 所以数列的通项公式是． 在首项，公差的等差数列中每相邻两项之间都插入 个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列 ，则新数列的首项仍为 ，公差. . 9 例题精讲 【例4】已知等差数列的首项，公差，在数列中每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列 ． (2) 是不是数列的项？若是，它是的第几项？若不是，说明理由． (2)数列的各项依次是数列的第项， 这些下标构成一个首项为，公差为的等差数列， 则.令，解得. 所以，是数列的第项. 从等差数列中等间隔的取出一些项，构成的新数列仍然是等差数列，新数列公差为. 10 课堂练习 1. 在等差数列{an}中，a1＋a5＝2，a3＋a7＝8， 则a11＋a15＝________. 解：， 解得 11 课堂小结 12 等差数列的性质 性质1.（等差数列的单调性）等差数列{an}的公差为d， ①d＞0{an}为递增数列；②d＜0{an}为递减数列； ③d＝0{an}为常数列． 性质2.（中项性质）设{an}为等差数列，若m＋n＝p＋q， 则am＋an＝ap＋aq (m，n，p，q∈N*) 性质3. 若数列{kn}是等差数列，则数列{akn}也是等差数列．即在等差数列中每隔相同的项选出一项，按原来的顺序排成一列，仍然是一个等差数列． 12 本课