4.1.2 递推数列 课件——2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

03 数列的一般形式可以写成： a1，a2，a3，…，an，…，简记为 。 02 各项依次叫做这个数列的 (首项)， … ， … 数列中的每一个数叫做这个数列的 。 01 复习巩固 {an} 项 第1项 第2项 第n项 一、数列的概念与一般形式： 二、数列的通项公式： 数列 {an} 的第n项 an 与序号 n 之间的关系式叫数列的通项公式 第 四 章 数 列 4.1.2 递推数列     延时符 授课人： 日期：2023年11月19日 2 学习目标  理解数列递推公式的含义，会用递推公式解决有关问题。  会利用数列的前n项和与通项的关系求通项公式  核心素养：数学抽象、数学运算，逻辑推理 3 新课导入 4 【例1】 图中的三角形图案称为谢宾斯基(Sierpinski)三角形. 在下图四个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式. (1) (2) (3) (4) 解：在图中，着色三角形的个数依次为1,3,9,27,即所求数列的前4项都是3的指数幂,指数为序号减1. 因此，这个数列的一个通项公式是. 当不能明显看出数列的项的取值规律时, 可以尝试通过运算未寻找规律, 如依次取出数列的某一项, 减去或除以它的前一项,再对差或商加以观察. 4 新课导入 5 【另解】a1=1, 且第2个图形开始，每个图形中着色三角形的个数都是前一个图形中着色三角形个数的3倍.即=3 这样, 例4中的数列的前4项满足a1=1, a2 =3a1 , a3 =3a2, a4 =3a3 , (1) (2) (3) (4) 由此猜测这个数列满足公式： 由前一项，推出后一项 5 新课知识 6 定义：如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式 . 一、数列的递推公式 相同点 不同点 通项公式 递推公式 均可确定一个数列，求出数列中的任意一项. 给出n的值，可求出数列中的第n项an . 由前一项(或前几项)，通过一次(或多次)运算，可求出第n项an . 6 例题精讲 7 【例2】 已知数列的第1项是1，以后的各项由公式 给出,写出这个数列的前5项. 解：由题意可知 总结：递推公式也是给出数列的一种方法，根据数列的递推公式，可以逐次写出数列的所有项. 7 新课知识 8 二、 数列的前n项和 如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式. 在对数列的研究中，求数列某些项的和是主要问题之一. 我们把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即 Sn =a1+a2+...+an 显然S1=a1,而Sn-1=a1+a2+…+an-1 (n≥2),于是我们有 8 新知拓展 9 已知数列{an}的前几项和公式为Sn =n2+n,你能求出{an}的通项公式吗？ 解：因为a1=S1=2， an=Sn-Sn-1 = n2+n -[(n-1)²+(n-1)] =2n(n≥2), 并且当n=1时，a1=2×1=2依然成立. 所以{an}的通项公式是an=2n. 由Sn 求an需要检验a1时是否成立 利用公式an=Sn-Sn-1 9 课堂练习 10 1. 根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式，并在横线上和括号中分别填上第5项的图形和点数． 10 课堂练习 11 2. 根据下列条件，写出数列{an}的前5项： 11 课堂小结 12 （1）初始值；2）递推关系式 1）求 <m></m> ; 2）当 <m></m 时，求 <m></m> ; 3）最后验证，当 <m></m> 时，若 <m></m> 满足 <m></m，则直接得到通项公式;否则 二、由数列的前n项和求通项公式的三个步骤 一.递推公式 12 本课作业 必做 二 必做 一 必做 三 教材 8 页 习题4.1 2 教材 9页 4~7 三维 10