直线和圆的方程 知识梳理-2024届高三数学一轮复习

直线和圆的方程知识梳理 1.直线的倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 当直线和x轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为　　，直线倾斜角的取值范围是　　　　　　。　　　　 （2）直线的斜率：　　　　　　　　，斜率取值范围是　　　。 （3）求直线斜率的方法 ①定义法：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则斜率k=　　　　.。 ②公式法：已知直线过两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），且x1≠x2， 则斜率k=　　　　　　。. 斜率的求法还可依据直线方程和方向向量。 注意： (1)平面直角坐标系内，每一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都有斜率。 (2)牢记k与α图像。 2．直线方程的五种形式 名称 方程 说明 适用条件 斜截式 k——斜率 b——纵截距 点斜式 两点式 (x1，y1)，(x2，y2)是直线上两个已知点 截距式 直线的横截距 直线的纵截距 过（0，0）及与两坐标轴平行的直线不能用此式 一般式 斜率、横截距和纵截距分别为 A、B不能同时为零 注意: 确定直线方程需要有两个互相独立的条件，直线方程的各种形式都有局限性。 (1)截距不是距离,直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为. (2)直线两截距相等直线的斜率为或直线过原点； (3)直线两截距互为相反数直线的斜率为或直线过原点； (4)直线两截距绝对值相等直线的斜率为或直线过原点. 3．两直线平行与垂直 （1）斜率存在且不重合的两条直线l1∶y=k1x+b1， l2∶y=k2x+b2，有以下结论： ①l1∥l2 ②l1⊥l2 若l1和l2都没有斜率，则l1与l2. , 若l2中有一条没有斜率而另一条斜率为0，则 . （2）对于直线l1∶A1x+B1y+C1=0， l2∶A2x+B2y+C2=0，当A1，A2，B1，B2都不为零时，有以下结论： ①l1∥l2 ②l1⊥l2 ③l1与l2相交 ④l1与l2重合 4.交点：直线l1：A1x+B1y+C1=0和l2：A2x+B2y+C2=0的公共点的坐标与方程组 ( 的解一一对应. ) A1x+B1y+C1=0 A2x+B2y+C2=0 相交方程组 ，交点坐标就是方程组的解；平行方程组 ,重合方程组 . 5.直线系方程： ①过两直线：,：交点的直线系方程可设为 ； ②与直线平行的直线系方程可设为 ； ③与直线垂直的直线系方程可设为 . 6．距离公式（1）已知一点P（x0，y0）及一条直线l：Ax+By+C=0，则点P到直线l的距离d= ； （2）两平行直线l1:Ax+By+C1=0， l2:Ax+By+C2=0之间的距离d= 。 7.有关对称的一些结论 ⑴点关于轴、轴、原点、直线的对称点分别是,,,. ⑵曲线关于下列点和直线对称的曲线方程为： ①点：； ②轴：； ③轴：； ④原点：； ⑤直线：； ⑥直线：； ⑦直线：. 8.点关于直线成轴对称问题 由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“　　　　”.利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程组，就可求出对顶点的坐标.一般情形如下： 设点P（x0，y0）关于直线y=kx+b的对称点为P′（x′，y′），则有 ( 可求出 x ′ 、 y ′ . )·k=－1， =k·+b， 特殊地，点P（x0，y0）关于直线x=a的对称点为P′（　 　，　 　）； 点P（x0，y0）关于直线y=b的对称点为P′（　 　，　 ）. 9.圆的定义：平面内到定点的距离等于 的点的轨迹叫做圆。 10.圆的方程 ⑴圆的标准方程：。 ⑵圆的一般方程：， 特别提醒： ①只有当时，方程才表示圆，其圆心为 ，半径为 的圆。 ②二元二次方程表示圆的充要条件是 。 ⑶圆的参数方程：（为参数），其中圆心为，半径为。 圆的参数方程的主要应用是三角换元： ；。 ⑷圆的直径式方程：为直径端点的圆方程 。 11.点与圆的位置关系：平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系： (1)|MC|＞r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞