一元二次方程根与系数的关系常考重点题（专项练习）人教版九年级数学上册（四大类型+例题+答案）

一元二次方程根与系数的关系常考重点题（专项练习） 人教版九年级数学（四大类型+例题+答案） 【知识要点】 一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理，是一元二次方程的一个重难点内容，也是一个热门的考点。它是本单元的一个扩展内容，却占据很重要的位置。不仅在中考题目中经常体现，还一直广泛的应用在高中数学的内容中。 根与系数之间的关系十分重要和巧妙，借助“根与系数的关系”的两个重要公式，能快速巧妙地写出它们两者之间的等式关系。为进一步解决一元二次方程、二次函数以及相关的数学问题提供了极其重要的思路和方法。 根与系数的关系： （1） （2） 要求能够真正理解并熟练地写出一元二次方程a+bx+c=0（a≠0）根与系数的两个公式：= ，= 。要求可以运用这两个方法公式求出“由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知 数”的类型题目；且能解决“求一元二次方程两个根的倒数和与平方和，两根之差。”此类稍微灵活的变型题。从而提升解题能力、思维能力与推理能力。 【典型例题1】 根据一元二次方程的根与系数的关系，求方程x2＋4x＋2＝0两根和与两根积： 【解答】 解：由根与系数的关系得： 【典型例题2】 已知方程2x2－6x＋7＝0的两个解分别为x1，x2，则x1－x1x2＋x2的值为 。 【解答】 解：由根与系数的关系得： ∴ x1－x1x2＋x2 x1＋x2－x1x2 3－ － 【对应练习】 类型一：求出一元二次方程根与系数的关系值 1、根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两根和与两根积： （1）－3x2＋x－5＝0 （2）x2－6x＝3－4x （3）2x2＋px＋q＝0 2、已知方程x2－4x＋12＝0的两个根分别为x1，x2，则x1－2x1x2＋x2的值为 。 3、已知x1，x2是方程3x2－2x－6＝0的两个实数根，则(x1－2)(x2－2)＝ 。 【分析总结】 以上题目都是属于在已知一元二次方程的情况下，求出根与系数的关系值的内容。要求理解并掌握根与系数的关系，熟练其方法公式：= ，= ，从而直接套用公式即可。但是，这里需要注意的是：方程需要先化为一元二次方程的一般式，且题目也要进行展开化简，真正理清楚a、b、c 分别对应什么数。 类型二：求一元二次方程两个根的平方和、倒数和 1、已知x1，x2是一元二次方程x2－4x－2＝0的两根，不解方程求下列各式的值： （1）x12＋x22；　　　 （2） ＋ 2、已知m，n是一元二次方程x2－5x－3＝0的两根，不解方程求下列各式的值： （1）m2＋n2－3　　 （2）|m－n|－5mn　 【分析总结】 该题目不仅要求熟练掌握根与系数的关系公式，还要求能对完全平方公式相关的一些变形技巧熟练运用，并且可以进行分式的通分与约分等。 类型三：已知方程的一个根求另一个根及参数 1、已知x＝3是一元二次方程2x2－4x＋m＝0的一个根，则另一个根为________, m的值为______。 2、已知x＝7是一元二次方程4x2－4kx＋16＝0的一个根，求另一个根及k的值。 【分析总结】 解决这类题目时，要利用好一元二次方程的根与系数的关系，可快速列出相应的基本方程，先求出另一个根，然后求出相关未知数即可解决问题。 类型四：综合运用根与系数的关系求出参数 1、关于x的方程x2－bx＋4b＝0的两根的平方和是9，则b的值 是 。 2、已知关于x的一元二次方程x2－4ax+8＋4a2＝4(2－x)有两个实数根x1，x2 (1)求实数a的取值范围； (2)若方程的两实数根x1，x2满足|x1＋x2|＝x1x2－4，求a的值． 【分析总结】 一元二次方程根与系数综合运用的题目，需要从根的判别式、根与系数的关系和解方程等各种知识要点及技巧去把握；并熟悉掌握两根平方和转化为用两根和、积的表示形式。该题目在最后求出参数方程两个根的时候，要记得检验根。利用根的判别式的取值范围，筛选出符合题目要求的参数答案。 以上几大类型的题目，就是一元二次方程方程最重要的考点问题，理解并掌握了，就可以解决掉这个“根与系数的关系”的问题了，建议可以多复习哦！ 【对应练习】 类型一：求出一元二次方程根与系数的关系值 1、【解答】 （1）解：由根与系数的关系得 （2）解：一元二次方程一般式为： x2－2x－3＝0 ∴由根与系数的关系得： （3）2x2＋px＋q＝0 解：由根与系数的关系得： 2、【解答】 解：由根与系数的关系得： ∴ x1－2x1x2＋x2 ＝x1＋x2－2x1x2 ＝4－2×12 ＝4－24 ＝－20 3、【解答】 解：由根与系数的关系得：