13.1.2.1 线段的垂直平分线的性质与判定 学案 2023-2024学年人教版数学八年级上册

13.1 轴对称 13.1.2 线段的垂直平分线的性质 第1课时 线段的垂直平分线的性质与判定 【知识重点】 知识点1 线段的垂直平分线的性质 1. 性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 条件：点在线段的垂直平分线上. 结论：这个点到线段两端点的距离相等. 2. 几何语言 如图， ∵ AD⊥BC，BD＝CD，∴ AB＝AC. 特别解读 用线段的垂直平分线的性质可直接证明线段相等，不必再用三角形全等来证明，因此它为证明线段相等提供了新方法. 知识点2 线段的垂直平分线的判定 1. 判定 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 条件：点到线段两个端点距离相等. 结论：点在线段的垂直平分线上. 2. 几何语言 如图，∵ AB＝AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上. 3. 三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等. 特别解读 1. 证明一个点在一条线段的垂直平分线上，思路有两种：一是作垂直，证平分. 二是取中点，证垂直. 2. 证明线段的垂直平分线，必须证明两个点在垂直平分线上. 【经典例题】 【例1】如图，在△ABC中，AB＝5 cm，BC的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，△ACD的周长为8cm. 求线段AC的长. 解题秘方：利用线段的垂直平分线的性质将要求的线段向已知条件转化. 【例2】如图，AD为∠BAC的平分线，交BC于点D， AE＝AF，请判断线段AD所在的直线是否为线段EF 的垂直平分线，若是，请给予证明；若不是，请说明理由. 解题秘方：紧扣线段的垂直平分线的判定证明直线AD上的点A和点D到线段EF的两个端点的距离相等即可. 【例3】如图，OE，OF所在直线分别是△ABC中AB，AC边的垂直平分线，∠OBC，∠OCB的平分线相交于点I，试判断OI与BC的位置关系，并给予证明. 解题秘方：根据“三角形三边的垂直平分线相交于一点，三个内角的平分线也相交于一点”这两条性质进行证明. 【同步练习】 一、选择题 1．下列命题中正确的有 (　　) ①P是线段AB上的一点，直线l经过点P，且l⊥AB，则l是线段AB的垂直平分线；②直线l经过线段AB的中点，则l是线段AB的垂直平分线；③经过线段AB的中点P且垂直于线段AB的直线l是线段AB的垂直平分线． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的(　　) A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 3．如图，AB所在直线是CD的垂直平分线，若AC＝2.3cm，BD＝1.6 cm，则四边形ACBD的周长是( ) A. 3.9 cm B. 7.8 cm C. 3.2 cm D. 4.6 cm 　 　 第3题图　 第4题图 第5题图 4．【2021·淮安】如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长是(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 5．如图，l是线段AB的垂直平分线，垂足为C，P，Q分别为l上的两点，则下列说法中正确的是 (　　) A．PA＜QB B．PA＝QB C．PA＞QB D．PA与QB的大小关系不能确定 6．【2020·益阳】如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，CD平分∠ACB.若∠A＝50°，则∠B的度数为(　　) A．25° B．30° C．35° D．40° 　 　 第6题图　 第7题图 第8题图 7．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有(　　) A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB C．AB与CD互相垂直平分 D．以上都不正确 8．如图，已知：在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC内一点，且OB＝OC，则有下列说法：①直线AO⊥BC；②直线AO平分线段BC；③直线AO是线段BC的垂直平分线；④AO平分∠BAC.其中说法正确的有 (　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如图，点D在△ABC的BC边上，且BC＝BD＋AD，则点D在线段(　　)的垂直平分线上． A．AB B．AC C．BC D．不确定 　 　 第9题图　 第10题图 第11题图 10．如图，M是