专题22 双曲线的标准方程5种常见考法归类 - 【考点通关】2023-2024学年高二数学高频考点与解题策略(人教B版2019选择性必修第一册)

专题22 双曲线的标准方程5种常见考法归类 1．双曲线定义 一般地，如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个正常数，且2a＜|F1F2|．则平面上满足||PF1|－|PF2||＝2a的动点P的轨迹称为双曲线，其中，两个定点F1，F2称为双曲线的焦点，两个焦点的距离|F1F2|称为双曲线的焦距，双曲线也可以通过用平面截两个特殊的圆锥面得到，因此双曲线是一种圆锥曲线． 注：（1）双曲线的定义中，若2a＝|F1F2|，点P的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线；若2a＞|F1F2|，点P的轨迹不存在． （2）定义中若常数为0，则点P的轨迹是线段F1F2的垂直平分线． （3）双曲线定义中距离的差为什么要加绝对值？ 不加绝对值，图象只为双曲线的一支，设F1、F2表示双曲线的左、右焦点，若|MF1|－|MF2|＝2a，则点M在右支上，若|MF2|－|MF1|＝2a，则点M在左支上． （4）若点M在双曲线上，一定有||MF1|－|MF2||＝2a吗？ 一定．若||MF1|－|MF2||＝2a(0＜2a＜|F1F2|)，则动点M的轨迹为双曲线，反之一定成立． 2．双曲线的标准方程 焦点所在的坐标轴 x轴 y轴 标准方程 －＝1 (a＞0，b＞0) －＝1 (a＞0，b＞0) 图形 焦点坐标 (－c,0)，(c,0) (0，－c)，(0，c) a，b，c的关系式 c2＝a2＋b2 注：（1）双曲线标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b2＝c2－a2，即c2＝a2＋b2，其中c>a，c>b，a与b的大小关系不确定；而在椭圆中b2＝a2－c2，即a2＝b2＋c2，其中a>b>0，a>c，c与b的大小关系不确定． （2）焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型，若x2的系数为正，则焦点在x轴上，若y2的系数为正，则焦点在y轴上． 3．双曲线的焦点三角形 双曲线上的点P与其两个焦点F1，F2连接而成的三角形PF1F2称为焦点三角形.令|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，∠F1PF2＝θ，因|F1F2|＝2c，所以有 （1）定义：|r1－r2|＝2a. （2）余弦公式：. （3）面积公式： 一般地，在△PF1F2中，通过以上三个等式，所求问题就会顺利解决. 4．求双曲线标准方程的两个关注点 5．待定系数法求双曲线标准方程的四个步骤 (1)定位置：根据条件确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上，还是有两种可能． (2)设方程：根据焦点位置，设其方程为－＝1或－＝1(a＞0，b＞0)，焦点位置不定时，亦可设为mx2＋ny2＝1(mn＜0)． (3)寻关系：根据已知条件列出关于a，b，c(m，n)的方程组． (4)得方程：解方程组，将a，b(m，n)代入所设方程即可得(求)标准方程． 提醒：求标准方程时，一定要先区别焦点在哪个轴上，选取合适的形式． 6.求解与双曲线有关的点的轨迹问题 求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：(1)列出等量关系，化简得到方程；(2)寻找几何关系，双曲线的定义，得出对应的方程． 求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：(1)双曲线的焦点所在的坐标轴；(2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支；(3)求出方程后要注意满足方程的解的坐标的点，是否都在所求曲线上． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 双曲线定义的应用 考点二 求双曲线的标准方程 考点三 双曲线标准方程的识别 考点四 双曲线中的焦点三角形问题 考点五 与双曲线有关的轨迹问题 考点一 双曲线定义的应用 1．（2023上·高二课时练习）已知双曲线的下、上焦点分别为，，是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合题意依次求得，从而得到双曲线的标准方程. 【详解】因为双曲线的下、上焦点分别为，， 所以设双曲线的方程为，半焦距为； 又因为是双曲线上一点且， 所以，即，则； 所以双曲线的标准方程为. 故选：C. 2．（2023·全国·高三专题练习）已知点，，则在平面内满足下列条件的动点P的轨迹为双曲线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】涉及双曲线上一点与两焦点构成的三角形问题往往考虑用双曲线的定义求解. 【详解】由于，因此满足， 的动点P的轨迹均不是双曲线， 满足的动点P的轨迹是双曲线的右支， 而满足的动点P的轨迹才是双曲线． 故选：B． 3．（2023·全国·高二课堂例题）已知，动点P满足，求动点P的轨迹方程． 【答案】 【分析】根据双曲线的定义求得正确答案. 【详解】