第5章二次函数知识点梳理 2023-2024学年苏科版九年级数学下册

二次函数 ①二次函数定义：一般地，如果y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），那么叫做的二次函数。 ②二次函数的图象及性质 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 图象 (a＞0) (a＜0) 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 直线x＝－ 直线x＝－ 顶点坐标 增减性 当x＜－时，y随x的增大而减小；当x＞－时，y随x的增大而增大 当x＜－时，y随x的增大而增大；当x＞－时，y随x的增大而减小 最值 当x＝－时，y有最___小___值 当x＝－时，y有最___大___值 ③用待定系数法求二次函数的解析式 （1）一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式. （2）顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。 （3）交点式：已知图像与轴的交点横坐标、，通常选用交点式：。 ④几种特殊的二次函数的图像特征如下： 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 当时 开口向上 当时 开口向下 x=0 （0，0） x=0 （0，k） x=h （h，0） x=h （h，k） x= （，） 发现; （1）顶点式求对称轴y=a（x+h）2+k括号里x+h=0⇒x=-h （2）对称轴和顶点的横坐标相同 ⑤二次函数一般式向顶点式的转化： y=ax2+bx+c =a（x2+x）+c =a（x2+x+-）+c =a（x+）2-+c =a（x+）2+ 顶点坐标（，） 对称轴x= ⑥二次函数的对称轴几种找法： （1）题目给的是一般式y=ax2+bx+c 对称轴x= （2） 题目给的是顶点式y=a（x+h）2+k 对称轴x=-h （3） 二次函数经过点A（a，n），B（b，n）（这两个点的纵坐标一样） 对称轴x= （4） 题目给的表格 x ... a ... b y ... m ... m 对称轴x= ⑦二次函数图象的变换 二次函数平移步骤： （1）将抛物线解析式转化成顶点式y=a（x-h）2+k确定其顶点坐标（h，k）； （2）保持抛物线 y=ax 2 的形状不变，将其顶点平移到（h，k）处，具体平移方法如下： 平移规律：左加右减，上加下减． 补充： 平移的第二种方法：二次函数y=ax2+bx+c向上平移m个单位，向左平移n个单位 y=a（x+n）2+b（x+n）+c+m 二次函数图形对称：（二次函数图象的对称本质：图形的对称就是点的对称） （1）将抛物线解析式转化成顶点式y=a（x-h）2+k确定其顶点坐标（h，k） ； （2）将顶点坐标进行对称，得到新的顶点，再写出新的二次函数顶点式，a的正负根据题目来. ⑧二次函数和一次函数（一次函数：y=kx+b 二次函数：y=ax2+bx+c） （1） 交点求解，联列方程组代入求解 （2） 交点的个数，联列方程组消元得到一元二次方程，看判别式（△） （3） 交点之间的关系，联列方程组消元得到一元二次方程，看判别式（△），再用韦达定理 （4） 一次函数y=kx+b 和二次函数y=ax2+bx+c比较大小，观察图像，谁的图像在上面谁大，在去对应的x的取值范围 （5） 一次函数y=-kx+b 和二次函数y=ax2+bx+c比较大小，要先把y=-kx+b图像画出来，根据对称性写出两个函数交点的横坐标，然后再去观察图像 ⑨二次函数与一元二次方程的关系 （1）二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当y＝0时，就变成了ax2＋bx＋c＝0(a≠0)． （2）ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解是抛物线与x轴交点的__横坐标______． （3）当Δ＝b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个不同的交点；当Δ＝b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点；当Δ＝b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （4）设抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴两交点坐标分别为A(x1,0)，B(x2,0)，则x1＋x2＝________，x1·x2＝________. （5）二次函数和一元二次不等式：ax2+bx+c＞0（＜0）⇒二次函数y=ax2+bx+c的函数图像在x轴上方（下方）对应的x的取值范围 ⑩二次函数图象和系数之间的关系 项目 字母 字母的符号 图像的特征 a a＞0 开口向上 a＜0 开口向下 |a| |a|越大，二次函数图像开口越小 b b=0 对称轴y轴（x=0） ab＞0 对称轴在y轴的左边（左同右异） ab＜0 对称轴在y轴的右边（左同右异） c c=0 经过原点 c＞0 交于y轴的正半轴 c＜0 交于y轴的负半轴 b2-4ac b2-4a