24.1.4圆周角 课件 2023—2024学年人教版数学九年级上册

圆周角 1 目标 TARGET 壹 贰 理解圆周角的概念，并会证明圆周角的定理 掌握圆周角和圆心角的关系，并利用圆周角解决应用问题 2 复习 1、弦，弧和圆心角的关系：在_____________，如果圆心角（弧，弦）相等，那么他们所对的弧(圆心角)_______,所对的弦（弦，弧）_______ 相等 同圆或等圆中 相等 2、如图，在⊙O中，AD=BC．求证：DC=AB． ∴DC=AB． 证明：∵AD=BC， 3 壹 圆周角的概念 4 概念 观察在⊙O中，这些角有什么共同特点？ A B O C D F E 顶点D都在☉O上，角的两边分别都交于☉O上 圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交 （两者缺一不可） 5 判断 · C O A B · C O B · C O B A A · C O A B · C O B · C O B A A 下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简述理由. （2） （1） （3） （5） （6） 顶点不在圆上 边AC没有和圆相交 √ √ √ （4） 顶点不在圆上 6 圆周角的定理及推论 7 问题1 如图，连接BO,CO,得圆心角∠BOC.试猜想∠BAC与∠BOC的数量关系. 8 推导及证明 圆心O 在∠BAC的 内部 圆心O在∠BAC的一边上 圆心O在∠BAC 的外部 9 圆心O在∠BAC的一边上（特殊情形） OA=OC ∠A= ∠ACO ∠BOC= ∠ A+ ∠ACO 10 O A B C 圆心O在∠BAC的内部 O A C D O A B D 11 C O A B D 圆心O在∠BAC的外部 C O A D O A B D 12 结论 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 圆周角定理： 13 推论1 如图，OB，OC都是⊙O的半径，点A ，D 是⊙O上任意两点，连接AB，AC，BD，CD.∠BAC与∠BDC相等吗？请说明理由. D ∴∠BAC=∠BDC. 解：相等.理由如下： 14 D A B O C E F 如图，若 ∠A与∠B相等吗？ 若∠A=∠B，那么 成立吗？ 解：相等.理由如下： A(B) E D C F 等圆或同圆中 15 结论 同弧或等弧所对的圆周角相等. A1 A2 A3 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 特殊 · O A C B 16 1、如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，∠ACD=60°，∠ADC=70°.求∠APC的度数. . O A D C P B 解：连接BC，则∠ACB=90°. ∴∠DCB＝∠ACB－∠ACD＝90°－60°=30°. ∴∠BAD=∠DCB=30°. ∴∠APC=∠BAD＋∠ADC＝30°＋70°＝100°. 练习 17 2、如图，⊙O的直径AB为10 cm，弦AC为6 cm．∠ACB的平分线交⊙O于点D, 求BC，AD，BD的长． 解：如图，连接OD． 在Rt△ABC中， D C B A O ∴ ∠ACB=∠ADB=90°. ∵AB是直径， 又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2， ∵CD平分∠ACB， ∴AD=BD. ∴ ∠AOD=∠BOD. ∴∠ACD=∠BCD. 18 圆内接多边形 19 概念 如果一个多边形所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆. 20 问题 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙O为四边形ABCD的外接圆. 猜一下∠A与∠C, ∠B与∠D之间的关系为： ∠A+ ∠C=180º， ∠B+ ∠D=180º. 21 性质 ∵ ∠A所对的圆心角是∠β，∠C所对的圆心角是∠α， 则 又 同理 性质：圆的内接四边形的对角互补. 连接OB，OD． α β ∴ 22 练习 23 练习 如图，AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，交⊙O于D，AF交⊙O于G. 求证：∠FGD＝∠ADC. 证明：∵四边形ACDG内接于⊙O，∴∠FGD＝∠ACD. 又∵AB为⊙O的直径，CF⊥AB，∴AB垂直平分CD. ∴AC＝AD. ∴∠ADC＝∠ACD. ∴∠FGD＝∠ADC. 24 课堂练习 25 1.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝120°，那么∠BCD是(　　) A．120° B．100° C．80° D．60° A 2.如图，△ABC的三个顶点在⊙O上，∠BAC=50°，∠ABC=47°，则∠AOB= ． B A C O 166° 2