浙江省台州市北京师范大学台州附属中学2022-2023学年九年级上学期学科特长生竞赛数学试卷

数理思维素养试题卷 一、 选择题(本题共8小题,共48分) 1.下列语句所描述的事件是随机事件的是( ) A.任意画一个四边形,其内角和为360 B.经过任意两点画一条直线 C.任意画一个菱形,是中心对称图形 D.过平面内任意三点画一个圆 2.“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载埔最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为,则第八个单音的频率为( ) A. B. C. D. 3.观察下列等式:,,,,,,…,根据其中的规律可得的结果的个位数字是( ) A. 0 B. 1 C.7 D.8 4.已知常数, 有三个关于x的方程: 、 和,依次是这三个方程的正根,则下列判断正确的是( ) A. B. C. D.不能确定 的大小 5.已知函数,当时,;当时,.那么,当时,的值为( ) A.2022 B.2023 C.2024 D.2025 6.方程有四个实数解,实数k的取值范围为( ) A. B. C. D. 7.已知是非零实数,若对于任意的,都有,则下列不可能的是( ) A. B. C. D. 8. 如图,正方形 和正方形 的顶点在同一条直线上,顶点在同一条直线上.是的中点,且的平分线过点交于点连接交于点,连接交于点.给出以下结论:;②; ③;④.其中正确的结论是( ) A.①②③④ B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题(本题共7小题,共42分) 9. 若关于的分式方程无解,则实数的值为 . 10. 一个容器装有1升水,按照如下要求把水倒出:第1次倒出升水,第2次倒出的水量是升的,第3次倒出的水量是升的,第4次倒出的水量是升的,...按照这种倒水的方法,倒了10次后容器内剩余的水量是 . 11. 将六个字母排成一排,若均互不相邻且在的同一侧,则不同的排列法有 种(用数字作答). 12. 设是边长为1的正方形内的两个点,则的最小值为 . 13.如图所示,可以在等边三角形内部任意位置移动,记,若则的最小值为 . 14.设都是正数,且,那么的取值范围是 . 15.对于实数,用表示不超过的最大整数.若,则 . 三、解答题(本题共4小题,共60分) 16.阅读以下资料: 在 ABC中,若记内角所对的三条边分别为,则,或写成.这称为余弦定理,余弦定理可以在已知三角形三条边的情况下,求出任意一个角的余弦值;也可以在已知两条边和任意一个角的情况下,求出第三条边. 请尝试解决以下问题: (1)若,求角的值; (2)若,且,求的值. 17.已知二次函数,其图像与轴的交点记为C. (1)当时,记二次函数与轴的交点为,求的面积 (2)已知,线段与二次函数有两个不同的交点,求实数的取值范围. (3)当时,恒成立,求实数的取值范围. 18.如图,在平面内,以AB为边分别向两边作. (1)若,连接与直线交于点,且满足,求的长度. (2)若,求长度的最大值. 19.已知实数满足. (1)求所有满足条件的实数的值; (2)若实数满足满足,且,求实数的取值范围. 2 学科网(北京)股份有限公司 $$