第1章 直角三角形的边角关系（压轴必刷30题6种题型专项训练）-【满分全攻略】2023-2024学年九年级数学同步讲义全优学案（北师大版）

第1章 直角三角形的边角关系（压轴必刷30题6种题型专项训练） 一．特殊角的三角函数值（共1小题） 1．（2023•建邺区校级二模）规定：sin（﹣x）＝﹣sinx，cos（﹣x）＝cosx，sin（x+y）＝sinx•cosy+cosx•siny．据此 （1）判断下列等式成立的是　 　（填序号）． ①cos（﹣60°）＝﹣；②sin2x＝2sinx•cosx；③sin（x﹣y）＝sinx•cosy﹣cosx•siny． （2）利用上面的规定求①sin75° ②sin15°． 二．解直角三角形（共2小题） 2．（2023•平房区二模）如图，在10×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段AB、线段EF的端点均在小正方形的顶点上． （1）在图中以AB为边画Rt△ABC，点C在小正方形的格点上，使∠BAC＝90°，且tan∠ACB＝； （2）在（1）的条件下，在图中画以EF为边且面积为3的△DEF，点D在小正方形的格点上，使∠CBD＝45°，连接CD，直接写出线段CD的长． 3．（2023春•丰台区校级月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AC上一点，DE⊥AB于点E，AC＝12，BC＝5． （1）求cos∠ADE的值； （2）当DE＝DC时，求AD的长． 三．解直角三角形的应用（共10小题） 4．（2023•鹿城区校级二模）如图1，是一种购物小拉车，底部两侧装有轴承三角轮，可以在平路及楼梯上推拉物品．拉杆固定在轴上，可以绕连接点旋转，拉杆，置物板，脚架形状保持不变．图2，图3为购物车侧面示意图，拉杆OP⊥DE，DF＝24cm，，⊙A，⊙B，⊙C的半径均为4cm，O为三角轮的中心，OA＝OB＝OC，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC．如图2，当轮子⊙B，⊙C及点G都放置在水平地面HI时，D恰好与⊙A的最高点重合．此时，D的高度为20cm，则OA＝　 　cm；如图3，拉动OP，使轮子⊙A，⊙B在楼梯表面滚动，当OA∥HI，且B，O，D三点共线时，点G与B的垂直高度差为 　 　cm． 5．（2023•金东区一模）如图1为某小区出入口栅栏道闸，BE，CF为栅栏道闸的转动杆，上面有10根等间距的竖杆，未抬起时与地面保持水平，竖杆竖直地面，在道闸抬起时最大旋转角度为70°，MN为门墙，BE＝CF＝3.1m，AD＝1.2m，AB＝CD＝0.2m，转动杆外端E，F距离杆GH与门墙MN均为0.1m，左侧9根竖杆底部离地面均为0.1m．（sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75） （1）如图2，当道闸转动30°抬起时，第五根竖杆的底端P到地面的距离为 　 　； （2）现有一辆货车进小区装货，已知货车宽2.2m，货车进出需保持与门墙0.2m的安全距离，该货车安全进出小区的离地高度不得超过 　 　m． | 6．（2023秋•沙坪坝区校级期中）如图1，公园草坪上安置了某款自动感应遮阳伞，其侧面示意图如图2所示．该遮阳伞由支架（AB）、悬托架（AE）、伞面（DF）和感应器组成．支架AB垂直于地面BC，伞沿的支点D在AB上滑动．悬托架支点E在DF上．感应器根据太阳光线的角度自动调整伞面与悬托架之间的角度（即∠AED的大小）使得伞面DF与太阳光线始终保持垂直，从而达到最佳遮阳效果．已知AB＝2.5米，AE＝DE＝0.5米，且DF＝4DE． （1）某天下午15点时太阳光线与地面的夹角α＝45°，此时伞沿支点D离地面多高？（结果精确到0.1米） （2）如图3，一把铁椅固定在离支架5米处的点Q，小明坐在铁椅上的高度（头顶到地面的距离）为1米．若当天16点时太阳光线与地面的夹角α＝30°，请判断此时小明的头部是否会被太阳光照射到？（参考数据： 7．（2023•滨海县模拟）如图（1）是一种简易台灯，在其结构图（2）中灯座为△ABC（BC伸出部分不计），A、C、D在同一直线上．量得∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝16cm，∠ADE＝135°，灯杆CD长为40cm，灯管DE长为15cm． （1）求DE与水平桌面（AB所在直线）所成的角； （2）求台灯的高（点E到桌面的距离，结果精确到0.1cm）． （参考数据：sin15°＝0.26，cos15°＝0.97，tan15°＝0.27，sin30°＝0.5，cos30°＝0.87，tan30°＝0.58．） 8．（2023•陕西模拟）陕西信息大厦是古城西安的地标性建筑之一．某日，数学兴趣小组成员小旲进行数学实践活动，想利用所学知识测量陕西信息大厦的高度．她采取的方案如下：如图，在与大厦底部点B在同一水平面上的点C处竖直起飞一架无人机，当无人机上升28m到达点D处时，测得