江苏省无锡市第三高级中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题

2023-2024学年第一学期高二年级期中考试—数学试题卷 出卷人：李红艳 审卷人：汪健 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的） 1. 若直线与直线平行，则m的值为（ ） A 2 B. C. 2或 D. 或 2. 双曲线渐近线方程是：，则双曲线的焦距为（ ） A. 3 B. 6 C. D. 3. 已知方程表示的曲线是椭圆，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 4. 若将直线沿轴正方向平移2个单位，再沿轴负方向平移3个单位，又回到了原来的位置，则的斜率是（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆C：和两点，，若圆C上存在点P，使得，则m的最大值为（ ） A. 12 B. 11 C. 10 D. 9 6. 已知为椭圆和双曲线的公共焦点，P为它们的公共点，且，则的面积为( ) A. B. C. D. 7. 椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别是，，离心率为.，是椭圆上的点，的中点为，，过作圆的一条切线，切点为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 5 二、多选题（本题共4小题，每小题5分，漏选得2分，共20分） 9. （多选）已知双曲线，则（ ） A. 离心率的最小值为4 B 当时离心率最小 C. 离心率最小时双曲线的标准方程为 D. 离心率最小时双曲线的渐近线方程为 10. 在空间直角坐标系中，，，，则（ ） A. B. 点到平面的距离是 C. 异面直线与所成角余弦值为 D. 与平面所成角的正弦值为 11. 长度为的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，线段中点的运动轨迹为曲线，则下列选项正确的是（ ） A. 点在曲线内 B. 直线与曲线没有公共点 C. 曲线上任一点关于原点的对称点仍在曲线上 D. 曲线上有且仅有两个点到直线的距离为 12. 已知椭圆的左右焦点分别为是圆上且不在轴上的一点，的面积为，设的离心率为，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知空间直角坐标系中，点，，若，，则__________. 14. 已知实数，满足方程，当时，的取值范围为________． 15. 椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点. 根据椭圆的光学性质解决下题：现有一 个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程，点是它的两个焦点.当静止的小球从点开始出发，沿角直线运动，经椭圆内壁反射后再回到点时，小球经过的路程为______. 16. 已知，是椭圆的两个焦点，且椭圆上存在一点，使得，若点，分别是圆D：和椭圆C上的动点，则当椭圆的离心率取得最小值时，的最大值是___________． 四、解答题（本大题共6题70分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤） 17. 已知直线的方程为，若在轴上的截距为，且. （1）求直线和的交点坐标； （2）已知直线经过与的交点，且在轴上截距是在轴上的截距的2倍，求的方程. 18. 如图所示，等腰梯形ABCD的底边AB在x轴上，顶点A与顶点B关于原点O对称，且底边AB和CD的长分别为6和，高为3． （1）求等腰梯形ABCD的外接圆E的方程； （2）若点N的坐标为，求过点N且被圆E截得的弦长与CD等长的直线的一般式方程． 19. 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD＝，PA⊥PD，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AB＝BC＝1，O为AD中点． (1)求B点到平面PCD的距离； (2)线段PD上是否存在一点Q，使得二面角Q－AC－D余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 20. 已知直角三角形ABC的顶点，直角顶点B的坐标为，顶点C在x轴上． （1）求直角三角形ABC的外接圆的一般方程； （2）设OA的中点为M，动点P满足，G为OP的中点，其中O为坐标原点，E为三角形ABC的外接圆的圆心，求点G的轨迹方程． 21. 已知点和非零实数，若两条不同的直线均过点，且斜率之积为，则称直线是一组“共轭线对”，如直线和是一组“共轭线对”，其中是坐标原点． （1）已知是一组“共轭线对”，且知直线，求直线的方程； （2）已知点，直线是“共轭线对”，当的斜率变化时，求原点到直线的距离之积的取值范围． 22. 已知椭圆：的离心率为，右焦点为，，分别为椭圆的左、右顶点. （1）求椭圆的方程； （2）过点作斜率不为的直