6.6 平方差公式——运用技巧 讲义 2022—2023学年鲁教版（五四制）数学六年级下册

平方差公式的运用技巧 平方差公式(a+b)(a－b)=a2－b2是恒等式，是初中数学中的重要公式，公式中的字母可以表示数字， 也可以表示单项式、多项式等代数式.在多项式的乘法计算过程中，只要算式符合公式的结构特征，就可以运用平方差公式.在灵活运用平方差公式解答有关问题时，应注意以下三种技巧： 一．正用技巧: 1.直接运用平方差公式 例1 计算：(－3a+2b)( －2b－3a) . 分析：直接套用是学习了平方差公式后最基本的模仿运用，通过模仿可以培养类比的思维能力，从而 达到熟悉掌握平方差公式的目的. 解： 原式= (－3a)2 －(2b)2=9a2－4b2. 2．连续运用平方差公式 例2 计算：(x+2)(x2+4)(x－2) . 分析：此题若从左向右依次运算计算很繁，若根据题目的特点，先将两个一次式相乘，则发现连续两 次运用平方差公式，就可以求到结果. 解： 原式=(x2－4) (x2+4)=x4－16. 3．综合运用乘法公式 例3计算：(2a+b－c+6)(2a－b+c+6). 分析：此题是两个四项式相乘，按照多项式的乘法法则计算会得到十六项，然后再合并同类项，但是若能把(2a+6)、(b－c)看作整体，则可以先运用平方差公式再运用完全平方公式求解，避免合并同类项的运算. 解：原式=[(2a+6) +(b－c)][(2a+6)－(b－c)]=(2a+6)2 －(b－c)2=4a2+24a+36－b2+2bc－c2. 二．逆用技巧:灵活正确掌握好平方差公式的逆用，对于计算和化简带来很大的简便性，可以起到事 半功倍的作用. 1．直接逆用平方差公式 例4 计算： (a+2)2－(a－2)2. 分析：此题可以直接先运用完全平方公式，然后再进行整式的加减，运算比较繁，若根据题目的特点，直接逆用平方差公式，便可化繁为简，迅速求解. 解：原式=[(a+2)+(a－2)][ (a+2)－(a－2)]=2a×4=8a. 例5 计算：(1－)(1－)(1－)…(1－). 分析：此题若直接先算出括号内的结果，将会出现2007个分数相乘的运算，但如果每个括号内都先逆用平方差公式，那么除了首尾两数以外，其余每相邻两数均互为倒数，正好约分，可以减少运算量. 解：解：原式=(1－)(1+)(1－)(1+)(1－)(1+)·…· ====. 2.2提公因式后逆用平方差公式 例6计算： 6.98×512－492×6.98. 分析：此题无法直接逆用平方差公式，观察到题目的特点，可以先提取提公因式6.98，再逆用平方差公式求解. 解：原式=6.98×（512－492）=6.98×（51+49）×（51－49）=6.98×100×2=1396； 2.3分组后逆用平方差公式 例7计算：12－22+32－42+…+20032－20042+20052－20062+20072. 分析：此题的数据较多，中间带有省略号，直接先算乘方再求代数和运算量太大，且不易求到结果，根据题目的特点，将1后面的2006个数据两两分组，逆用平方差公式，在利用求和公式求得结果. 解：原式=1+(32－22)+(52－42)+…(20032－20022)+(20052－20042)+（20072－20062） =1+(3+2)+(5+4)+…+(2003+2002)+(2005+2004)+（2007+2006）==2015028. 2.4指数变形后逆用平方差公式 例8证明38－46能被17整除. 分析：此题若按常理应先算出38－46的结果，再看是不是17的整倍数，但这样做计算量较大，不如根据题目的特点，先逆用把38、46进行指数变形，再逆用平方差公式，可以快速求证. 证明：38－46=（34）2－（43）2=（34+43）（34－43）=145×17. ∴38－46能被17整除. 2.5结合积的乘方性质逆用平方差公式 例9 计算：1.2222×9－1.3332×4. 分析：此题无法直接逆用平方差公式，观察到题目的特点，可以先逆用对原式进行变形，再逆用平方差公式，可以快速求解. 解：原式=1.2222×32－1.3332×22=(1.222×3)2－(1.333×2)2 =(3.666+2.666)(3.666－2.666)=6.332. 2.6逆用平方差公式后约分 例10 计算：(16a2－9b2)÷(4a－3b). 分析：此题根据题目的特点，先逆用平方差公式后发现可约分，则可化繁为简，迅速得解. 解：原式=(4a+3b)×(4a－3b)÷(4a－3b)=4a+3b. 三．创造条件运用技巧:一些题目看似无法运用平方差公式运算，但若能认真审题，发现其中的规律， 把题目进行适当的转化，便可适用平方差公式进行计算. 3.1拆数(项)后运用平方差公式 例11 计算：(1)2008×1