构造法求数列通项的九种方法讲义-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

求通项公式方法 一、累加法 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相加，可得： ①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ② 若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； ③若是关于的二次函数，累加后可分组求和； ④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和． 【例1】在数列中，，.求的通项公式. 【分析】利用累加法以及等差数列的求和公式可求出结果. 【详解】因为， 所以当时， ， 又适合上式，所以. 二、累乘法 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相乘，可得： 【例2】已知数列{}，，，求通项公式. 【答案】＝ 【分析】由题得＝，再利用累乘法求解. 【详解】∵，，∴＝. ∴＝ (n≥2)． 以上各式相乘，得.∵＝ (n≥2) 又＝1满足上式，∴＝(n∈N*)． 三、求和公式 【要点】 （只要同时出现和，想到用此公式） 已知数列，满足，试求数列的通项 【解答】 ①当时， ②当时，，作差可得 很明显，时也成立，故而数列的通项公式为：。 已知正项数列，满足，试求数列的通项公式。 【解答】 ①当时，，解得 ②当时，，作差可得，化简可得： 故而数列是以3为首项，以2位公差的等差数列，即。 构造法求数列通项的六种方法 考法一：an＋1＝pan＋q(p≠0，1，q≠0） 尾巴是常数 【例1】已知各项均为正数的数列{}满足（正整数，求数列的通项公式. 【详解】（1）证明： 设 则 因为 所以t=3 即 所以=2（正整数） 又， 所以数列是以为首项、以2为公比的等比数列. 解题方法： 第一步构造出：an＋1＋t＝p（an＋t）的形式； 第二步利用待定系数求出t的值。 则数列{an＋t}为公比为p的等比数列。 考法二：an＋1＝pan＋qn＋c(p≠0,1，q≠0) 尾巴是一次函数 【例2】已知：，时，，求的通项公式． 【答案】 【分析】构造等比数列，即可由等比数列的性质求解. 【详解】设，所以， ∴ ，解得：， 又 ，∴ 是以3为首项， 为公比的等比数列， ∴ ，∴ ． 解题方法： 第一步：构造出， 第二步：利用待定系数法求出A和B的值， 即可判断出数列{}为公比为p的等比数列。 考法三：an＋1＝pan＋rqn 尾巴是指数函数（分两类：底不同、底相同） 【例3-1】底不同 已知数列满足，，求数列的通项公式． 【详解】因为， 设， 所以， 则， 即， 则数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，即； 底不同时解题方法： 第一步：可设， 第二步：利用待定系数求出参数的值 即可构造出等比数列 【例3-2】底相同 已知数列的首项，满足.求数列的通项公式； 【详解】依题意，又， 数列是以1为首项，2为公差的等差数列， ，. 底相同时解题方法： 第一步：等式两边同时除以或（视情况而定，总之形式要统一） 即可构造出一个等差数列 考法四：an＋2＝pan+1＋qan 含有三个下标不同的递推公式 【例4】已知数列中，，求的通项公式． 【详解】化为，即， ，可得或，（所得两组数值代入上式等价）， 不妨令，， 所以是以1为首项，为公比的等比数列，则， 累加法可得：， 又符合上式，故. 解题方法： 第一步：设出 第二步：利用待定系数求出和的值 则可等到数列为公比为的一个等比数列。 考法五：an＋1＝ 【例5】已知数列满足：求通项. 【详解】取倒数： ，故是等差数列，首项为，公差为2， ， ∴. 【变式5-1】在数列中，求． 【答案】 【分析】将已知关系式变形为，两边同除以可得，记，则，再构造等比数列可求解. 【详解】由已知关系式得, 所以数列是以为首项，公比为3得等比数列，故， 所以 解题方法： 第一步：等式两边同时取倒数后拆开 第二步：将进行解题，类比考法一 考法六：an＋1＝pan2 【例6】设正项数列满足，，求数列的通项公式． 【详解】对任意的，， 因为，则， 所以，，且， 所以，数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，，解得. 24．已知数列满足，.证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； 【分析】根据递推公式证明为定制，即可证明数列为等比数列，再根据等比数列得通项即可得解； 解题方法： 第一步：两边同时取对数（最好取以p为底的对数）后拆开 第二步：将进行解题，类比考法一。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$