精品解析：江苏省常州市金坛区2023-2024学年高二上学期期中数学试题

2023年秋学期高二期中质量调研 数学试卷 2023.11 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效， 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在平面直角坐标系中，直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为（ ） A B. C. D. 且 3. 某学习小组研究一种卫星接收天线（如图①所示），发现其曲面与轴截面交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如图②所示）．已知接收天线的口径（直径）为3.6m，深度为0.6m，则该抛物线的焦点到顶点的距离为（ ） A. 1.35m B. 2.05m C. 2.7m D. 5.4m 4. 已知、，直线过定点，且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 5. 17世纪法国数学家费马在《平面与立体轨迹引论》中证明，方程(k>0，k≠1，a≠0)表示椭圆，费马所依据的是椭圆的重要性质：若从椭圆上任意一点P向长轴AB(异于A，B两点)引垂线，垂足为Q，则为常数.据此推断，此常数的值为（ ） A. 椭圆的离心率 B. 椭圆离心率的平方 C. 短轴长与长轴长的比 D. 短轴长与长轴长比的平方 6. 已知椭圆C：上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且，，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 若方程有两个不等的实根，则实数b的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知实数，满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率 B. 点关于直线的对称点为 C. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 D. 经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为 10. 已知直线，圆，则（ ） A. 直线恒过定点 B. 当直线与圆相切时， C. 当时，直线被圆截得的弦长为 D. 当时，直线上存在点，使得以为圆心，为半径的圆与圆相交 11. 已知点P在圆上，点，，，则（ ） A. B. 当面积最大时， C. 当最小时， D. 当最大时， 12. 在数学史上，平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线.在平面直角坐标系中，动点到两个定点，的距离之积等于1，化简得曲线.则下列结论正确的是（ ） A. 满足的点P有两个 B. 的最小值为2 C. 的面积大于 D. 的最大值为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 若曲线是双曲线，则其焦距为______. 14. 若过点直线l与圆交于A，B两点，则弦最短时直线l的方程为______. 15. 双曲线的右顶点为A，点M，N均在C上，且关于y轴对称，若直线，的斜率之积为，则C的离心率为______. 16. 已知，分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与C交于P，Q两点，若，则C的离心率是______. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知两条直线，.设m为实数，分别根据下列条件求m的值. （1）； （2）直线在x轴与在y轴上的截距之积等于. 18. 在①焦点到准线的距离是，②准线方程是，③通径的长等于.这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答. 问题：在平面直角坐标系中，已知抛物线，______. （1）求抛物线的方程； （2）若过的直线与抛物线相交于点、，求证：是直角三角形. 注；如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 19. 瑞士数学家欧拉（Euler）1765年在所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心､重心､垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的三个顶点为，，. （1）求外接圆的方程； （2）求欧拉线的方程. 20. 如图，已知的圆心在原点，且与直线相切. （1）求的方程； （2）点P在直线上，过点P引的两条切线、，切点为A、B. ①求四边形面积最小值； ②求证：直线过定点. 21. 在直角坐标系