4.2.2等差数列的前n项和（第一课时）课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第四章 数列 4.2.2 等差数列的前n项和及应用 复习回顾 1. 等差数列定义： 2. 等差数列通项公式： (2) an＝am＋(n－m)d . (3) an＝pn＋q (p、q是常数) (1) an＝a1＋(n－1)d (n≥1). an－an－1 ＝d (n≥2) 或 an+1－an ＝d. 3. 几种计算公差d的方法: 4. 等差中项 m＋n＝p＋q  am＋an＝ap＋aq . 5. 等差数列的性质 A= 高斯是德国著名的大科学家，他最出名的故事就是在他10岁时，小学老师出了一道算术难题：计算1＋2＋3＋……＋100＝？ 创设情景 我们知道，在解决实际问题时，通常要将实际问题转化成数学式子。这个问题就是…… 高斯的算法 首尾配对相加法 · · · 3+98 2+99 1+100 大家都知道这个算法，这从另一个角度表明这种方法的巧妙与高明！ 仿照高斯的运算方法， 创设情景 计算：1＋ 2＋ 3 ＋… ＋ (n-1) ＋ n 若用首尾配对相加法，需要分类讨论. 第一层有很多支铅笔，老师一下没数清，就直接问，第一层有n支. n ＋ (n-1) ＋ (n-2) ＋…＋ 2 ＋1 倒序相加法 分析：这其实是求一个具体的等差数列前n项和. ① ② 探究，给学生以充足的时间。提问：1、命名；2、计算1+2+3+…+100可以用吗？当N＝2K+1，中间一项为K,K+2,k+1 一、数列前n项和的定义: 设数列｛ an ｝： a1，a2 ，a3 ，…，an ，… 我们把a1＋a2 ＋ a3 ＋ … ＋ an叫做数列｛ an ｝的前n项和，记作Sn . 问题: 如何求一般等差数列的前n项和 问题分析 已知等差数列｛ an ｝的首项为a1，项数是n，第n项为an，求前n项和Sn . ① ② 由①+②，得 重点、难点突破。两法化简右式 求和公式 等差数列的前n项和的公式： 不含d 可知三求一 含d 可知三求一 用文字语言表述公式一。引出另一个公式，另一种证明方法？可知sn是n的二次函数（放在教例3及探究讲）。知三求一，解释知三求二，让学生推导。 新知探索 等差数列的前n项和 梳理　等差数列的前n项和公式 已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数 选用公式 Sn＝_________ Sn＝_____________ 新知探索 等差数列的前n项和   注意点：(1)公式一反映了等差数列的性质，任意第k项与倒数第k项的和都等于首末两项之和； (2)由公式二知d＝0时，Sn＝na1；d≠0时，等差数列的前n项和Sn是关于n的没有常数项的“二次函数”； (3)公式里的n表示的是所求等差数列的项数． 例6 已知数列{an}是等差数列. 典例精析 题型一：等差数列基本量的计算 例1　已知一个等差数列{an}的前10项的和是310，前20项的和是1 220，由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？ 解　方法一　由题意知S10＝310，S20＝1 220， 典例精析 题型一：等差数列基本量的计算 例1　已知一个等差数列{an}的前10项的和是310，前20项的和是1 220，由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？ ②－①，得a20－a10＝60，∴10d＝60，∴d＝6，a1＝4. 典例精析 题型二：等差数列前n项和性质 典例精析 题型二：等差数列前n项和性质 典例精析 题型二：等差数列前n项和性质 典例精析 题型三：由Sn与an的关系求an 解　根据Sn＝a1＋a2＋…＋an－1＋an可知Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1(n>1，n∈N*)， 典例精析 题型三：由Sn与an的关系求an 反思与感悟　 已知前n项和Sn求通项an，先由n＝1时，a1＝S1求得a1， 再由n≥2时，an＝Sn－Sn－1求得an，最后验证a1是否符合an， 若符合则统一用一个解析式表示. 跟踪练习 1.已知等差数列{an}满足a1＝1，am＝99，d＝2，则其前m项和Sm等于( ) A.2 300 B.2 400 C.2 600 D.2 500 √ 解析　由am＝a1＋(m－1)d，得99＝1＋(m－1)×2， 跟踪练习 2.记等差数列的前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则该数列的公差d等于( ) A.2 B.3 C.6 D.7 √ 方法二　由S4－S2＝a3＋a4＝a1＋2d＋a2＋2d＝S2＋4d， 所以20－4＝4＋4d，解得d＝3. 跟踪练习 3.在一个等差数列中，已知a10＝10，则S19＝____. 190 ＝19a10 ＝19×10＝190. 跟踪练习 4.已知数列{an}满足a1＋2a2＋…＋nan＝n