4.2.1等差数列的性质（第二课时）课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第四章 数列 4.2.1 等差数列的性质及应用 函数图象上所有的点在同一条直线上：d＞0,等差数列单调递增；d＜0,等差数列单调递减；d＝0,等差数列为常数列. 如果在a与b中间插入一个数A，使a, A, b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项. 复习引入 1.等差数列的定义 2.等差中项的定义 4.等差数列的函数特征 3.等差数列的通项公式 2A=a+b 学习目标 1.能用等差数列的定义推导等差数列的性质. 2.能用等差数列的性质解决一些相关问题. 3.能用等差数列的知识解决一些简单的应用问题. 新知讲解 例3 某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少.经验表明，每经过一年其价值就会减少d（d为正常数）万元. 已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废. 请确定d的取值范围. 分析： 这台设备使用n年后的价值构成一个数列{}.由题意可知，10年之内（含10年），这台设备的价值应不小于（2205%=）11万元；而10年后，这台设备的价值应小于11万元. 可以利用{}的通项公式列不等式求解. 新知讲解 解： 设使用n年后，这台设备的价值为万元，则可得数列{}. 由已知条件，得 . 由于d是与n无关的常数，所以数列{}是一个公差为-d的等差数列. 因为购进设备的价值为220万元，所以， 于是 . 根据题意，得 即 解这个不等式组，得 所以，d 的取值范围为 利用等差数列解决实际问题的基本步骤 (1)将已知条件翻译成数学(数列)问题； (2)构造等差数列模型(明确首项和公差)； (3)利用通项公式解决等差数列问题； (4)将所求出的结果回归为实际问题. 新知讲解 例4 已知等差数列{}的首项 ，公差d=8，在{}中每组相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{} . （1）求数列{}的通项公式. （2）是不是数列{}的项？若是，它是{}的第几项？若不是，说明理由. 分析： （1）{}是一个确定的数列，只要把，表示为{}中的项，就可以利用等差数列的定义得出{}的通项公式； （2）设{}中的第n项是{}中的第 项，根据条件可以求出n与 的关系式，由此即可判断 是否为 {}的项. 合作探究 解： （1）设数列{}的公差为 . 由题意可知，，， 于是 . 因为， 所以 ， 所以 . 所以 . 所以，数列{}的通项公式是 . （2）数列{}的各项依次是数列{}的第1，5，9，13，…项， 这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列{}， 则 . 令 ， 解得 所以， 是数列 {}的第8项. 合作探究 例 5 已知数列{}是等差数列， 且 求证： 分析： 只要根据等差数列的定义写出，再利用已知条件即可得证. 证明： 设数列{}的公差为d ，则 ， ， ， . 所以 因为 所以 合作探究 拓展 等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广： （ ） (2) 若{}是等差数列，,且 . 则 ① 特别地，当 时， ② 对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和， 即 . (3)若是公差为d的等差数列，则 ① (c为任意常数) 是公差为d的等差数列 ② (c为任意常数) 是公差为cd的等差数列 ③ 是公差为md的等差数列． (4)若分别是公差为的等差数列， 则数列是公差为 的等差数列. 课堂练习 1已知数列{}是等差数列，且 ，求的值. 解： ∵ 等差数列中，若 . 则 ∴， 由条件等式得 ∴ 2 在等差数列{an}中，已知a15＝8，a60＝20，求通项公式a75. 　 解　方法一　(利用an＝am＋(n－m)d) 设数列 {an}的公差为d， 则a60＝a15＋(60－15)d＝8＋45d， 所以d＝＝， 所以a75＝a60＋(75－60)d＝20＋15×＝24. 2 在等差数列{an}中，已知a15＝8，a60＝20，求通项公式a75. 　 解　方法二　(利用隔项成等差数列) 因为{an}为等差数列， 所以a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列， 设其公差为d，a15为首项，则a60为第四项， 所以a60＝a15＋3d，得d＝4，所以a75＝a60＋d＝24. 3　(1)三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数； (2)四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数． 解　(1)设这三个数依次为a－d，a，a＋d， 则 解得，