4.2.1等差数列的概念和通项公式（第一课时）课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第四章 数列 4.2.1 等差数列的概念与通项公式 1.数列的定义是什么？ 一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数叫做数列. 2.数列的通项公式的定义是什么？ 如果数列的第项与它的序号之间对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式. 3.数列的递推公式的定义是什么？ 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做数列的递推公式. 复习旧知 北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，围绕最中间的天心石是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为： 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81. ① 情境 小叶比格椰 情境 S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装上衣对应的尺码分别是： 38, 40, 42, 44, 46, 48. ② 情境 某地从距离地面20 m起每升高100 m处的大气温度(单位:℃)依次为： 25.0, 24.4, 23.8, 23.2, 22.6. ③ 小叶比格椰 思考 观察上面数列，你能通过运算发现数列的取值规律吗？ 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81. ① 38, 40, 42, 44, 46, 48. ② 25.0, 24.4, 23.8, 23.2, 22.6. ③ 对于数列①，发现： 18=9+9, 27=18+9， 36=27+9， ... ， 81=72+9. 换一种写法，就是： 18-9=9, 27-18=9， 36-27=9， ... ， 81-72=9. 如果用来表示数列①，则： ，，... ，. 小叶比格椰 等差数列的定义 等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示. 等差数列的符号语言：. . 判断下列数列是否为等差数列?如果是，写出它的公差？ （1）5,9,13,17,21; （2）9,7,5,3,1，-1; （3）6,6,6,6,6,6; （4）0,1,0,1,0,1. 是，; 是，; 是， 不是，1-0=0,0-1=-1. 等差中项 思考：如果在和之间插入一个数，使成等差数列，那么应满足什么条件？ 由等差数列定义，有：，所以即 此时，把叫做的等差中项. 的等差中项是它们的算术平均数. 等差数列的判断与证明 反思与感悟　 等差数列的两个判定方法 (1)定义法：证明对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数. (2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2. 问题2 你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？ 由， 有 于是， ， ， …… 归纳可得 当时，上式为. 这就是说，上式当时也成立. 首项为，公差为的等差数列的通项公式为. 等差数列的通项公式 等差数列通项公式的证明： 由， 所以 ， ， ， …… ， 将以上个式子进行累加， 得到： ， 即 思考：观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？ 由于， 所以时，是常值函数； 当时，是一次函数 当时 的函数值，即. 在这条直线上描出点 就得到了等差数列{}的图象. 事实上，公差的等差数列{}的图象是点(n, )组成的集合，这些点均匀分布在直线 上. 反之，任给一次函数 (k, b为常数)， 则 构成一个等差数列 首项为 , 公差为b 等差数列的单调性： ，等差数列单调递增. ，等差数列单调递减. ，等差数列常数列. 等差数列通项公式的应用 例1 已知等差数列的通项公式为，求的公差和首项； 解析 当时，由的通项公式，可得 于是 把代入通项公式，得 所以，的公差为，首项为 小叶比格椰 例2 已知等差数列 （1）求这个等差数列的第项； （2）判断是不是这个数列的项？如果是，是第几项？ 解析 由已知条件，得， 把，代入，得 （1）把代入上式，得 . 所以，这个数列的第项是 小叶比格椰 解析 （2）由通项公式 令 解这个关于 的方程，得 . 所以，是这个数列的项，是第项 例2 已知等差数列 （1）求这个等差数列的第项； （2）判断是不是这个数列的项？如果是，是第几项？ 小叶比格椰 课堂练习 1在等差数列中， (1)已知 (2)已知 解： 　(1)∵ ∴ 解得 (2) 设数列的公差为d. 由已知得， 解得