12.3 角平分线的性质 第2课时 课件 2023-2024学年 人教版八年级数学上册

第2课时 角平分线的判定 12.3 角平分线的性质 学习目标 1.掌握角的平分线的性质“到角两边距离相等的点在角的平分线上”.2.能应用性质解决一些简单的实际问题. 新课导入 壹 我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，反过来，到角的两边的距离相等的点是否在这个角的平分线上呢？这节课我们来对这个问题进行探究. 课堂导入 讲授新知 贰 　　角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上？也就是交换角的平分线的性质中的已知和结论。下面我们证明这个命题的正确性. 已知：如图所示，PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE． 求证：点P 在∠AOB的平分线上（OP平分∠AOB）． 证明：因为 PD⊥OA，PE⊥OB（已知）， 所以∠PDO =∠PEO=90°． 在Rt△PDO和Rt△PEO中，   所以 Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）． 所以∠POD =∠POE．即点P 在∠AOB的平分线上． 知识点1　角平分线的判定定理 讲授新知 角的平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. O A B C P D E ┐ （1）使用该判定定理的前提是这个点必须在角的内部； （2）角的平分线的判定定理是证明两角相等的重要办法. 几何表示： 如图所示，因为点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE，所以点P在∠AOB的平分线OC上. 由命题的正确性我们可得判定定理 讲授新知 P 如图所示：P点即为所求 ;理由如下： P点在这个交叉口的角平分线上， 所以P点到公路与铁路的距离相等. 　例1 如图所示，要在S 区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路和铁路的交叉处500 m. 这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20 000）？ 图上距离 500m 1 20000 = 解：因为 所以图上距离 = 0.025m = 2.5cm. 范例应用 正确理解两个定理的条件和结论，性质定理和判定定理的条件和结论是相反的，性质定理是证明两条线段相等的依据，判定定理是证明两个角相等的依据. 知识点2　角的平分线的性质定理与判定定理的关系 讲授新知 分别画出以下三角形的三个内角的角平分线，从位置上你能观察出什么结论？ 三角形三个内角的角平分线的交点位于三角形的内部. 知识点3　三角形三个内角平分线的性质 讲授新知 过交点分别作三角形三边的垂线，根据角平分线的性质定理你能得出什么结论？ ┐ ┐ ┐ ┐ ┐ ┐ ┐ ┐ ┐ A B C A B B C A C 过交点作三角形三边的垂线段相等 讲授新知 例2 如图所示，△ABC 的角平分线AD、BE、CF相交于点P.求证：点P 到△ABC 三边AB，BC，CA的距离相等. B C P D E F M N O ┐ ┐ ┐ A 证明：过点P作PM⊥BC，PN⊥AC，PO⊥AB， 垂足分别为点M，N，O. 因为AD为△ABC的角平分线，所以PN=PO. 因为BE为△ABC的角平分线，所以PM=PO. 因为CF为△ABC的角平分线，所以PM=PN. 所以PM=PN=PO， 即点P到△ABC三边AB、BC、CA的距离相等. 范例应用 当堂训练 叁 1. 如图所示，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ） A.1处 B.2处 C.3处 D.4处 2.如图，O是△ABC内一点，O到三边AB，BC，CA的距离分别为OF，OD，OE，且OF=OD=OE，若∠BAC=70°，则∠BOC= . 3.判断题: (1)如图1，若QM=QN，则OQ平分∠AOB.( ) (2)如图2，若QM⊥OA于点M，QN⊥OB于点N，则OQ平分∠AOB.( ) D 125° × × 当堂训练 4.如图所示，点P是△ABC的外角∠CBE和外角∠BCF的平分线的交点，求证：AP平分∠BAC. 证明：作PQ⊥BC，PM⊥AE，PN⊥AF，垂足分别为Q，M，N. 因为P点在∠CBE和∠BCF的平分线上， 所以PM = PQ，PN = PQ， 所以PM = PN. N Q M 又PM⊥AE，PN⊥AF， 所以 AP平分∠BAC. 当堂训练 课堂小结 肆 课堂小结 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 判定定理 应用 综合利用角的平分线的性质和判定来解决实际问题 学会用添加辅助线 的方法解题 角平分线的判定 课后作业 基础题：1.课后习题 P50练习 1,2题。 提高题：2.请学有余力的同学做P52T6,7 谢 谢 $$