第24章 圆（压轴必刷30题10种题型专项训练）-【满分全攻略】2023-2024学年九年级数学同步讲义全优学案（沪科版）

第24章圆（压轴必刷30题10种题型专项训练） 一．垂径定理（共2小题） 1．（2023春•萧县月考）新定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦． （1）如图1，AB，AC是⊙O的等垂弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E．求证：四边形ADOE是正方形； （2）如图2，AB是⊙O的弦，作OD⊥OA，OC⊥OB，分别交⊙O于D，C两点，连接CD．求证：AB，CD是⊙O的等垂弦． 2．（2023•怀远县校级二模）如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为E，， （1）求AB的长； （2）求⊙O的半径． 二．圆周角定理（共3小题） 3．（2023•安徽模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，以D为圆心，4为半径作⊙D，E为⊙D上一动点，连接AE，以AE为直角边作Rt△AEF，使∠EAF＝90°，tan∠AEF＝，则点F与点C的最小距离为　 　． 4．（2023春•安徽月考）如图，AB是半圆O的直径，点C在半径OA上，过点C作CD⊥AB交半圆O于点D．以CD，CA为边分别向左、下作正方形CDEF，CAGH．过点B作GH的垂线与GH的延长线交于点I，M为HI的中点．记正方形CDEF，CAGH，四边形BCHI的面积分别为S1，S2，S3． （1）若AC：BC＝2：3，则的值为　 　； （2）若D，O，M在同条直线上，则的值为　 　． 5．（2022•宣州区校级一模）已知⊙O半径为4，点A，B在⊙O上，∠BAC＝90°，sin∠B＝，则线段OC的最大值为　 　． 三．圆内接四边形的性质（共3小题） 6．（2023•阜阳模拟）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AO、OC，∠ABC＝70°，AO∥CD，则∠OCD的度数为（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 7．（2023•包河区三模）已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，直径DG交边AB于点E，AB、DC的延长线相交于点F．连接AC，若∠ACD＝∠BAD． （1）求证：DG⊥AB； （2）若AB＝6，tan∠FCB＝3，求⊙O半径． 8．（2023•合肥模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝BC，对角线AC为⊙O的直径，E为⊙O外一点，AB平分∠DAE，AD＝AE，连接BE． （1）求∠AEB的度数； （2）连接CE，求证：2BE2+AE2＝CE2． 四．三角形的外接圆与外心（共4小题） 9．（2022•安徽模拟）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，⊙O是△ABC的外接圆，点A，B，O在网格线的交点上，则cos∠ACB的值是 　 　． 10．（2023•禹会区二模）如图，△ABC内接于半圆O，已知AB是半圆O的直径．AB＝10，AD平分∠BAC，分别交半圆O和BC于点D，E，过点D作DH⊥AB，垂足为点H，交BC于点F． （1）求证：EF＝DF； （2）连接OD交BC于点G，若EG＝FG，求的长． 11．（2022•雨山区校级一模）如图，△ABC内接于⊙O，CD⊥AB于D，交⊙O于E，OF⊥BC于F． （1）若AD＝1，CD＝3，BC＝5，求OF的长； （2）连接AE，求证AE＝2OF． 12．（2022•义安区模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE平分△ABC的外角∠DAC，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别是点M、N，且OM＝ON． （1）求证：AE∥BC； （2）如图，延长ON交AE于E点，若OE＝7，ON＝1，求⊙O的半径长． 五．切线的性质（共3小题） 13．（2023•明光市二模）如图，AB是⊙O的直径，点P是弦AC上一动点（不与点A，C重合），过点P作PE⊥AB，垂足为点E，射线EP交弧AC于点F，交过点C的切线于点D． （1）求证：DC＝DP； （2）若∠CAB＝30°，AB＝4，F是弧AC的中点，求CP的长． 14．（2023•雨山区校级一模）如图，已知AB为⊙O的直径，过⊙O上点C的切线交AB的延长线于点E，AD⊥EC于点D．且交⊙O于点F，连接BC，CF，AC． （1）求证：BC＝CF； （2）若AD＝3，DE＝4，求BE的长． 15．（2022•包河区一模）如图，AB为⊙O的直径，直线BM⊥AB于点B，点C在⊙O上，分别连接BC，AC，且AC的延长线交BM于点D，CF为⊙O的切线交BM于点F． （1）求证：CF＝DF； （2）连接OF，若AB＝10，BC＝6，求线段OF的长． 六．切线的判定（共2小题） 16．（2023春•定远县校级月考）如图，已知：以Rt△ABC的边AB为直径作△ABC的外接圆⊙