13.4 课题学习 最短路径问题 课件 2023—2024学年人教版数学八年级上册

第13章 轴对称 13.4 最短路径问题 第一课时 将军饮马问题 通文明礼 正己惠人 复习导入 1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？你的依据是什么？ A B ① ② ③ ②最短，依据“两点之间，线段最短” 通文明礼 正己惠人 新课导入 2.如图，P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？你的依据是什么？ P l A B C D PC最短，依据“垂线段最短” 通文明礼 正己惠人 新课导入 3.如图，直线l是线段AB的对称轴，C是直线l上任意一点，则AC和BC的大小关系是什么？你的依据是什么？ AC=BC. 依据“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”. A B l C 通文明礼 正己惠人 新课导入 4.如图，如何做点A关于直线l的对称点？ 作法：（1）过点A作直线l的垂线，垂足为O； l A ∙ A′ ┐ O （2）在垂线上截取OA′=OA. 点A′就是点A关于直线l的对称点. ∙ 可简记为：作垂线；取等长 通文明礼 正己惠人 探索新知 引例 将军要先带马去河边喝水，再去单位上班。请问：马在河边何处喝水时，将军所走的路线最短？ 知识点1 将军饮马问题 实际问题 数学问题 ？转化？ 通文明礼 正己惠人 引例 A B l 将军要先带马去河边喝水，再去单位上班。请问：马在河边何处喝水时，将军所走的路线最短？ 实际问题 数学问题 将两地抽象为A、B两个点，将河抽象为直线l ． 通文明礼 正己惠人 引例 将两地抽象为A、B两个点，将河抽象为直线l ． A B l 问题一 你能用自己的语言把问题抽象为数学问题吗？ 在直线l 上找一点C，使AC+BC最短 问题二 点C应该在哪里？ 为什么呢？ 连接AB，与l 交于C点 两点之间线段最短 C 通文明礼 正己惠人 将两地抽象为A、B两个点，将河抽象为直线l ． 在直线l上找一点C， 使AC+BC最短 B A l C 问题1 现在，单位搬到了将军府的同侧，将军还是要先带马去河边喝水，再去单位上班。此时，将军应该如何走才能使所走路线最短？ 知识点1 将军饮马问题 通文明礼 正己惠人 探索新知 知识点1 将军饮马问题 A B l B B′ C A l B C 引例 分析：如果我们能把点B“移”到l 的另一侧B′处，同时对于直线l 上的任一点C，都保持CB 与CB′的长度相等，就能把这个“同侧”的问题转化为“异侧”的问题. A、B同侧 A、B异侧 通文明礼 正己惠人 探索新知 知识点1 将军饮马问题 A B l 作出点B关于直线l的对称点B′，利用轴对称的性质，可以得到CB′=CB. B′ C 问题转化二:当点C在l的什么位置时，AC+CB′最小. 怎样找到满足条件的点B′？ 在连接A，B′两点的线中，线段AB′最短.因此线段AB′与直线l的交点的位置即为所求. 通文明礼 正己惠人 探索新知 知识点1 将军饮马问题 A B l B′ C 怎样证明点C的位置即为所求？ 作法：（1）作点B关于直线l的对称点B′; 点C即为所求作的点. （2）连接AB′,交直线l于点C. 通文明礼 正己惠人 探索新知 知识点1 将军饮马问题 A B l 在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，证明AC+CB＜AC′+C′B. B′ C C′ 你能完成这个证明吗？ 通文明礼 正己惠人 探索新知 知识点1 将军饮马问题 A B l B′ C C′ 由轴对称的性质知，BC =B′C，BC′=B′C′． ∴AC +BC=AC +B′C=AB′， ∴AC′+BC′=AC′+B′C′． 在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′， ∴AC +BC＜AC′+BC′． 即AC +BC 最短． 证明：如图，在直线l 上任取一点C′(与点C 不重合)，连接AC′，BC′，B′C′． 通文明礼 正己惠人 探索新知 知识点1 将军饮马问题 （1）定直线l ； 利用”将军饮马“模型解决最值问题的应符合的条件 A B l （2）两定点A，B，且两定点在直线l的同侧; （3）所求作的动点C在直线l 上. C 通文明礼 正己惠人 探索新知 知识点1 将军饮马问题 （1）找：由轴对称的性质，作其中一个定点（如B）关于直线l 的对称点（B′）； （2）连：连接另外一个定点（A)与对称点（B′）； 解决”将军饮马“问题的步骤 A B l B′ C′ C （3）交：连线与直线l 的交点（C′）所在的位置即为所求作的点（C）. 通文明礼 正己惠人 探究新知 问题2 在单位旁边有一块草地，每天中午休息的时候，将军要赶着马先到草地吃草，再到河边喝水，最