4.5.1函数的零点与方程的解学案-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.5.1函数的零点与方程的解 重点和难点：会借助函数零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间；能借助函数单调性及图象判断零点个数． 一、引入 用二次函数的观点认识一元二次方程，知道一元二次方程的实数根就是相应二次函数的零点．像这样不能用公式求解的方程，是否也能采用类似的方法，用相应的函数研究它的解的情况呢？ 二、新课讲解 1. （1）观察下列三组方程与函数： 方程 函数 x2－2x－3＝0 y＝x2－2x－3 x2－2x＋1＝0 y＝x2－2x＋1 x2－2x＋3＝0 y＝x2－2x＋3 利用函数图象探究方程的根与函数图象与x轴的交点之间的关系． 提示　方程x2－2x－3＝0的根为 。 函数y＝x2－2x－3的图象与x轴交于点 ； x2－2x＋1＝0有两个相等的实数根，为 ， 函数y＝x2－2x＋1的图象与x轴有唯一交点 ； x2－2x＋3＝0没有实根，函数y＝x2－2x＋3的图象与x轴 点． （2）上面（1）中的函数的零点是函数图象与x轴的交点坐标吗？ 。 零点不是点，零点是函数图象与x轴的交点的 ． 2. (1)对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． (2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的解的关系： 注意点：(1)零点不是点，是函数图象与x轴交点的横坐标； (2)求零点可转化为求对应方程的解； (3)不能用公式求解的方程，可以与函数联系起来，利用函数的图象和性质找零点，然后得到方程的解． 3. (多选)方程(x2－4)＝0的解可以是(　　) A．x＝－2 B．x＝－ C．x＝ D．x＝2 4. 求下列函数的零点： (1)f(x)＝ (2)f(x)＝(lg x)2－lg x. 5.画出函数y＝x2－2x－3的图象，观察其图象，发现它在区间[2,4]上有 ，此时函数图象与x轴 ;在区间[－2,0]上有 ，此时函数图象与x轴 。 可以发现，在零点附近，函数图象是连续不断的，并且 “穿过”x轴．函数在端点x＝２ 和x＝４的取值异号，即， 函数 y＝x2－2x－3在区间 内有零点x＝３，它是方程x2－2x－3＝０的一个根．同样地， ，函数y＝x2－2x－3在 （－２，０）内有零点x＝－１，它是方程 x2－2x－3＝０的另一个根 6．函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 注意点： (1)定理要求函数在闭区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)<0； (2)闭区间[a，b]上的连续函数y＝f(x)，f(a)·f(b)<0是函数有零点的充分不必要条件； (3)该定理是用来判断函数的变号零点，比如y＝x2，有零点为0，但是该零点的两侧函数值的符号相同，称为不变号零点． 7. 函数在[]上连续不间断,当时,函数零点个数是否唯一? 。 8.(多选)若函数f(x)的图象在R上连续不断，且满足f(0)<0，f(1)>0，f(2)>0，则下列说法错误的是(　　) A．f(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上一定没有零点 B．f(x)在区间(0,1)上一定没有零点，在区间(1,2)上一定有零点 C．f(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上可能有零点 D．f(x)在区间(0,1)上可能有零点，在区间(1,2)上一定有零点 9. 函数f(x)＝lg x－的零点所在的区间是(　　) A．(0,1) B．(1,10) C．(10,100) D．(100，＋∞) 10. 求方程的实数解的个数． 解（法一）填表画图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 （法2）在下列坐标系中画出 三、课