4.2.1等差数列的概念及通项公式 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第四章 数列 4.2.1 等差数列的概念及通项公式 1 一、课题导入 1.数列的概念是什么？ 一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列. 数列中的每一个数都叫做数列的项. 2.什么是数列的通项公式？ 3.什么是数列的递推公式？ 二、引导探究1——等差数列及等差中项的概念 思考 下列3个数列的取值规律是什么？有何共同点？ 9，18，27，36，45，54，63，72，81 ① 34，36，38，40，42，44，46，48 ② 25，24.4，23.8，23.2，22.6 ③ 从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数 我们把具有这种取值规律的数列称为等差数列. 1.等差数列的概念　 定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列. 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示. 等差数列的符号语言： an－an-1 = d (d是常数, n≥2且n∈N*)或an+1－an = d (d是常数, n∈N*) 注意n的取值！ 从第二项开始! 注意：1.“从第2项起”说明等差数列至少含有三项. 2.“每一项与它的前一项的差”不可理解为“每相邻两项的差” 3. 判断一个数列是不是等差数列，主要是由定义进行判断，即判定an+1-an 是不是同一个常数. 4. 公差d是每一项(从第2项起)与它的前一项的差，而且公差可以是正数，负数，也可以为0. 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项. 由等差数列的定义，可知 2.等差中项的概念　 两个数的等差中项只有一个 三、典型例题1 等差数列的判断 三、典型例题2 等差中项的应用 二、引导探究2——等差数列的通项公式 探究 若已知等差数列{an}的首项和公差，你能否根据等差数列的定义推导出等差数列的通项公式？ 所以 a2=a1+d a3=a2+d=(a1+d )+d=a1+2d a4=a3+d=(a1+2d )+d=a1+3d … an=an-1+d=a1+ (n-1)d (n ≥ 2) 又∵当n=1时，上式也成立 ∴an=a1+(n-1)d 方法1： 由等差数列的定义可得 an+1-an=d 等差数列的递推公式 不完全归纳法 它就是等差数列的通项公式！ ∴ a2-a1=d a3-a2=d a4-a3=d … an-an-1=d (n ≥ 2) 累加以上n-1个式子, 得 an-a1=(n-1)d 累加法 又∵当n=1时，上式也成立 ∴an=a1+(n-1)d 方法2：∵由等差数列的定义可得 an+1-an=d ∴ an=a1+(n-1)d 思考 还有什么方法推导等差数列的通项公式呢？ 首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为 a1,an,n,d 知三求一 3.等差数列的通项公式　 三、典型例题3 等差数列通项公式的应用 若数列 是等差数列，首项为 ，公差为 ，则 （1）点 落在直线 上，这条直线的斜率为 ，在 轴上的截距为 ；（2）这些点的横坐标每增加1，函数值增加 . 问题 我们知道数列是自变量为n的函数，你认为等差数列与我们熟悉的哪一类函数有关？ an＝f(n)=a1＋(n－1)d=dn＋(a1－d) 结论：等差数列{an}的单调性与公差d有关. ①当d＞0时，等差数列{an} 单调递增; ②当d＜0时，等差数列{an}单调递减； ③当d＝0时，等差数列{an}为常数列. 拓展探究 二、引导探究3——等差数列的判定与证明 等差数列的判定方法有以下三种： （1）定义法： 为等差数列. （2）等差中项法： 为等差数列. （3）通项公式法： （ ， 是常数， ） 为等差数列. 三、典型例题4 等差数列的证明 四、课堂小结 2. 通项公式： 1.等差数列的定义： an-an-1=d （n≥2）或 an+1-an=d (n∈N*) an =a1+(n-1)d 由三个数a,A,b组成等差数列,则称A叫做a与b的等差中项. 3.等差中项： 这三个数满足关系式： A= d= $$