4.5.2用二分法求方程的近似解学案-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.5.2　用二分法求方程的近似解 【知识梳理】 【知识点一】二分法的概念 对于在区间【a，b]上图象连续不断，且 f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 【知识点二】用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤 (1)确定零点x0的初始区间【a，b]，验证 f(a)f(b)<0，给定精确度ε. (2)求区间(a，b)的中点x1. (3)计算f(x1)： ①若f(x1)＝0，则x1就是函数的零点； ②若f(a)f(x1)<0(此时零点x0∈(a，x1))，则令b＝x1； ③若f(x1)f(b)<0(此时零点x0∈(x1，b))，则令a＝x1. (4)判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4)． 【概念辨析】“精确到”与“精确度” (1)精确度：近似数的误差不超过某个数，就说它的精确度是多少，即设x为准确值，x′为x的一个近似值，若|x′－x|<ε，则x′是精确度为ε的x的一个近似值．用二分法求方程的近似解时，只要根的存在区间(a，b)满足|a－b|<ε，两端点或区间内的任意一个数均可作为方程的近似解． (2)精确到：按四舍五入的原则得到准确值x的前几位近似值x′，x′的最后一位有效数字在某一数位，就说精确到某一数位．如：π＝3.141 592 6…，若取3位有效数字，则x′≈3.14，精确到0.01(即百分位)；若取5位有效数字，则x′≈3.141 6，精确到0.000 1(即万分位)． 【例题探究】 【类型一】二分法的概念 【例1】(1)下列图象表示的函数能用二分法求零点的是(　　) (2)某方程在区间(2,4)内有一实数根，若用二分法求方程根的近似值，要使所得的近似值的精确度达到0.1，则需要将区间等分(　　) A．2次　　 　B．3次　　 　C．4次　　 　D．5次 【归纳】利用二分法的定义进行判断求解． 1．判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用． 2．二分法是通过不断地将选择的区间一分为二，逐步逼近零点，直到满足精确度的要求． 【变式训练1】(1)用二分法求函数f(x)在区间(a，b)内的唯一零点时，精确度为0.001，则结果计算的条件是(　 　) A．|a－b|<0.1　　　　　 B．|a－b|<0.001 C．|a－b|>0.001 D．|a－b|＝0.001 (2)已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为(　 　) A．4,4 B．3,4 C．5,4 D．4,3 【类型二】用二分法求函数的零点的近似值 【例2】判断函数y＝x3－x－1在区间(1,1.5)内有无零点，如果有，求出一个近似零点(精确度为0.1)． 【归纳】用二分法求函数零点的近似值的两个关键点：①初始区间的选取，既符合条件(包含零点)，又要使其长度尽量小(关键词：选初始区间)．②进行精确度的判断，以决定是停止计算还是继续计算(关键词：判断精确度)． 【变式训练2】用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下表： f(1.600 0)≈0.200 f(1.575 0)≈0.067 f(1.562 5)≈0.003 f(1.559 375)≈ －0.013 f(1.556 25)≈ －0.029 f(1.550 0)≈ －0.060 则函数f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值为 (精确到0.01)． 【类型三】用二分法求方程的近似解 【例3】用二分法求2x＋x＝4在区间(1,2)内的近似解(精确度为0.2)． 参考数据： x 1.125 1.25 1.375 1.5 1.625 1.75 1.875 2x 2.18 2.38 2.59 2.83 3.08 3.36 3.67 【归纳】用二分法求方程的近似解的思路和方法 1思路：求方程fx＝0的近似解，可按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解. 2方法：对于求形如fx＝gx的方程的近似解，可以通过移项转化成求函数Fx＝fx－gx的零点的近似值，然后按照用二分法求函数零点的近似值的步骤求解. 【变式训练3】求方程x2＝2x＋1的在(2,3)内的近似解(精确度为0.1)． 【课堂小练】 1．下图是函数f(x)的图象，它与x轴有4个不同的公共点，给出下列四个区间，不能用二分法求出的函数f(x)的零点所在的区间是(　 　) A．(－2.1，－1) B．(1.9,