4.5.1函数的零点与方程的解学案-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.5.1　函数的零点与方程的解 【知识梳理】 【知识点一】函数的零点 对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． 函数y＝f(x)的图象与x轴的公共点的横坐标就是函数y＝f(x)的零点． 【知识点二】方程的根、函数的零点、图象之间的关系 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点． 【知识点三】函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间【a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 【例题探究】 【类型一】求函数的零点 【例1】(1)求函数f(x)＝x2－x－2的零点； (2)已知函数f(x)＝ax－b(a≠0)的零点为3，求函数g(x)＝bx2＋ax的零点． 【提示】求函数的零点，就是求相应方程的实数根． 【归纳】求函数y＝fx的零点的方法 1代数法：根据零点的定义，解方程fx＝0，它的实数根就是函数y＝fx的零点. 2几何法：若方程fx＝0的解不易求出，可以根据函数y＝fx的性质及图象求出零点.例如，已知fx是定义在R上的减函数，且fx为奇函数，求fx的零点：因为y＝fx是奇函数，那么由奇函数的性质可知f0＝0，因为y＝fx是定义在R上的减函数，所以不存在其他的x使fx＝0，从而y＝fx的零点是0. 【变式训练1】已知函数f(x)＝x2＋3(m＋1)x＋n的零点是1和2，求函数y＝logn(mx＋1)的零点． 【类型二】判断函数零点所在区间 【例2】(1)函数f(x)＝3x－7＋lnx的零点一定位于区间(　　) A.　　　　　　　 B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) (2)根据表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个实根所在的区间为(k，k＋1)(k∈N)，则k的值为________. x －1 0 1 2 3 ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09 x＋2 1 2 3 4 5 【归纳】判断函数零点所在区间的三个步骤 1代入：将区间端点代入函数求出函数的值. 2判断：把所得函数值相乘，并进行符号判断. 3结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则函数在该区间内无零点，若符号为负且函数图象连续，则函数在该区间内至少有一个零点. 【变式训练2】(1)函数f(x)＝lnx－的零点所在的大致区间是(　 　) A．(1,2) B．(2,3) C.和(3,4) D．(e，＋∞) (2)方程log3x＋x＝3的实数解所在的区间为(　 　) A．(0,2) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 【类型三】函数零点个数的有关问题 【例3】求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数． 【提示】结合函数的单调性与函数零点存在定理进行判断或转化成两个函数图象的交点问题． 【归纳】判断函数零点的个数的方法 1对于一般函数的零点个数的判断问题，可以利用函数零点存在定理来确定零点的存在性，然后借助于函数的单调性判断零点的个数. 2由fx＝gx－hx＝0，得gx＝hx，在同一坐标系中作出y1＝gx和y2＝hx的图象，利用图象的交点个数判定方程根的个数. 【变式训练3】函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为(　 　) A．1　　　　 B．2　　　　 C．3　　　　 D．4 【例4】若方程kx2－(2k＋1)x－3＝0的两根x1，x2满足一个根小于1，另一个根大于1，求实数k的取值范围． 【例5】已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－k有两个不同的零点，则实数k的取值范围是________． 【归纳】根据函数零点个数或零点所在区间求参数的方法 1直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式组，通过解不等式组确定参数的取值范围. 2分离参数法：先将参数分离，然后将原问题转化成求函数值域的问题加以解决. 3数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后利用数形结合思想求解. 【变式训练4】若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是 ． 【课堂小练】 1．函数f(x)＝－x2＋5x－6的零点是(　 　) A．(－2,3)　　　　　　　　 B．2,3 C．(2,3) D．－2，－3 2．设x0是方程lnx＋x＝4的实数解，则x0所在的区间是(　 　) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 3．（多选）已知函数，令，则下列说法正确的是(　 　) A．函数的单调递增区间为 B．当