4.5.1函数的零点与方程的解 教学设计-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

数学必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 4.5.1 函数的零点与方程的解 授课 班级 高一年级 授课 时间 课型 新授课 教 学 目 标 1.了解函数零点与方程解的关系，了解零点存在定理，会判断函数零点个数. 2、通过利用函数的性质来研究方程的解，来培养学生的数形结合思想，转化思想。 学科素养 1. 数学抽象：函数零点的概念； 2. 逻辑推理：零点判定定理； 3.数学运算：运用零点判定定理确定零点范围； 4.直观想象：运用图形判定零点； 5.数学建模：运用函数的观点方程的根； 学情 分析 学生在第二章时就初步接触了零点的概念，为本节课打下基础，学生通过对二次函数，指数函数，对数函数等函数的学习，已经具备观察图象简单特征的能力.本节通过与定理有关的一些正例、反例的图象来帮助学生加深对定理的理解. 重点 难点 1.重点：对函数零点概念的理解. 2.难点：零点存在定理. 教学 策略 问题导向 自主学习 合作学习 教具 准备 多媒体课件 教 学 过 程 集体共案 二次备课（ ） 1． 复习 在第二章，我们就知道对于二次函数，我们把的实数叫做二次函数的零点.与二次函数的零点一样，对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点. 判别式Δ Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 函数y=ax2+bx+c (a>0)的图象 O x y x1 x2 O y x x1 O x y 函数的图象与x轴的交点 两个交点： (x1,0)，(x2,0) 一个交点： (x1,0) 无交点 方程ax2+bx+c=0 (a>0)的根 两个不相等的实数根x1、x2 有两个相等的 实数根x1 = x2 没有实数根 结论：函数的零点⇔方程的根⇔图象与轴交点的横坐标 2． 问题探究 练习：求下列函数的零点： ；(2); (3);(4) 方法总结： 求函数零点： 法一：令，解出方程的根就是函数的零点 法二：画出函数的图象，图象与轴交点的横坐标就是函数的零点 问题1：像这样的函数零点该如何求？ （1）令，此方程我们无法解 提示：对于方程的解，若不能求时： 是否有解，有几解→大概在哪个范围内→范围越小越好 （2）函数图象我们无法画 提示:我们会画对数函数和一次函数的图象，所以可以把这个函数拆成两个函数.，移项得,函数零点个数即函数与的图象交点个数. 总结：有的函数我们暂时无法求出零点，但如果能画出图象，可以通过图象来判断是否有零点，有几个零点. 图象法判断的零点个数： 令，得，的零点个数就是与图象的交点个数. 我们可以从图象的角度来判断零点是否存在以及零点的个数，我们就从简单的具体的函数图象来研究“如何从数的角度判断零点是否存在” 问题2：观察二次函数的图象，在零点附近的图象特征如何？函数值之间有什么关系？ 答： （1） 在零点-1的左侧，图象在轴上方，即函数大于0，在零点-1的右侧，图象在轴下方，即函数小于0. （2）同样的，在零点3的左侧，图象在轴下方，即函数小于0，在零点3的右侧，图象在轴上方，即函数大于0. 在零点附近，图象连续不断，且“穿过”轴，左右两侧的函数值总是异号. 3． 零点存在定理 零点存在定理： 如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间 内有零点.即存在，使得，这个就是方程的根. 问题3：若图象不是连续不断，是断开的，那么零点存在定理还成立吗？ 请举例说明. 答：若图象断开，则零点存在定理不成立. 如图，在区间上，图象断开，没有穿过轴，即使满足，也可能不存在零点. 问题4：若在区间上的图象连续不断，,在区间上一定没有零点吗？ x y 0 x1 答：如图，图象没有穿过轴，在零点附近图象都在轴上方，满足，存在一个零点. 所以，零点存在定理只能用于判断“变号零点”. 问题5：若在区间上的图象连续不断，满足,在区间上只有一个零点吗？ O y x b a 答：零点存在定理只能判断在上存在零点，不能判断有几个零点. 结论：若函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，且在内单调，满足，那么，函数在区间 内只有一个零点. 【注意】使用零点存在定理时要注意：（1）图象连续不断；（2）图象要穿过轴，即变号零点.（3）零点存在定理只能判断零点是否存在，不能判断有几个.若再加上单调的条件，则能判断只有一个零点. 4． 典例剖析 1．函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点个数是(　　) 2．函数f(x)＝2x－3的零点所在的区间是(　　) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 3．对于函数f(x)，若f(－1)·f(3)<0，则(　　) A．方程f(x)＝0一定有实数解 B．方程f(x)＝0一